For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for פונקציה סינגולרית.

פונקציה סינגולרית

פונקציית קנטור, דוגמה לפונקציה סינגולרית
פונקציית קנטור, דוגמה לפונקציה סינגולרית

באנליזה מתמטית, פונקציה סינגולרית היא פונקציה ממשית המוגדרת בקטע, שהיא רציפה, לא־קבועה, בעלת השתנות חסומה ושנגזרתה מתאפסת כמעט בכל מקום (כב״מ).

ידוע שפונקציה שנגזרתה מתאפסת בכל מקום היא פונקציה קבועה. הפונקציות הסינגולריות מתקבלות כאשר מחלישים מעט את התנאי, ומאפשרים לנגזרת שלא להתאפס (ואפילו לא להיות מוגדרת) בחלק מהנקודות, כל עוד קבוצת הנקודות שבה הנגזרת לא מתאפסת היא זניחה (קבוצה ממידה אפס).

במקורות מסוימים בוחרים לדרוש שהפונקציה גם לא יורדת. יש גם מקורות שלא דורשים שהפונקציה תהיה רציפה.

דוגמאות

  • פונקציית קנטור – זוהי פונקציה רציפה ולא יורדת בקטע היחידה שקבועה בכל קטע שמוסר בבנייה של קבוצת קנטור ולכן היא סינגולרית.
  • הפונקציה הסינגולרית של לבג – מטילים אינסוף פעמים מטבע לא הוגן שההסתברות שייצא עץ היא וההסתברות שייצא פלי היא . מגדירים מספר ממשי כך שהספרה הבינארית ה־n שלו היא 1 אם בהטלה ה־n יצא עץ, ו־0 אם בהטלה ה־n יצא פלי. פונקציית ההצטברות של המשתנה המקרי : היא הפונקציה הסינגולרית של לבג עם הפרמטר . זוהי פונקציה עולה חזק ורציפה שלמרות זאת נגזרתה מתאפסת כב״מ.
  • פונקציית סימן השאלה של מינקובסקי – פונקציה המוגדרת לפי כאשר היא ההצגה של x כשבר משולב (מגדירים באופן אנלוגי לשבר משולב סופי). הפונקציה עולה חזק ובעלת מספר תכונות מעניינות. למשל היא ממפה שורשים של משוואה ריבועית למספרים רציונליים ומקיימת משוואות פונקציונליות מעניינות.

תכונות

אינטגרל לבג אינו מושפע מקבוצות ממידה אפס, ולכן לצורכי אינטגרציה של הנגזרת ניתן להניח שהנגזרת של פונקציה סינגולרית מוגדרת בכל מקום כפונקציית האפס.

פונקציות סינגולריות אינן אינטגרל לא מסוים של הנגזרת שלהן (בניגוד לקביעה של נוסחת ניוטון לייבניץ העוסקת בפונקציות גזירות בכל מקום). מכיוון שפונקציה סינגולרית אינה קבועה קיימות נקודות בתחומה כך ש־, ולכן:

זאת מכיוון שפונקציה סינגולרית אמנם רציפה, אך אינה רציפה בהחלט בקטע.[1] ידוע שפונקציה היא אינטגרל לא מסוים של הנגזרת שלה בקטע אם ורק אם היא רציפה בהחלט בקטע. כל אינטגרל לא מסוים הוא רציף בהחלט, ולכן פונקציה סינגולרית אינה אינטגרל מסוים של אף פונקציה.

פירוק לבג

לכל פונקציה רציפה בעלת השתנות חסומה בקטע יש פירוק מהצורה כאשר רציפה בהחלט ו־ סינגולרית או קבועה. הפירוק יחיד עד כדי חיבור קבוע לרכיב אחד וחיסורו מהרכיב השני. אפשר גם לדרוש ש־ ואז הפירוק יחיד לגמרי (ו־ היא סינגולרית או זהותית 0). משפט זה הוכח על ידי אנרי לבג ב־1904. בהסתמך על התכונות הידועות של פונקציות רציפות בהחלט ההוכחה פשוטה:

נגדיר (פונקציה בעלת השתנות חסומה היא גזירה כב״מ ולכן הביטוי מוגדר היטב). כל אינטגרל לא מסוים הוא רציף בהחלט ולכן רציפה בהחלט (ובפרט בעלת השתנות חסומה). פונקציה רציפה בהחלט היא אינטגרל לא מסוים של הנגזרת שלה ולכן כב״מ. נגדיר . זו פונקציה רציפה בעלת השתנות חסומה (כהפרש פונקציות רציפות בעלות השתנות חסומה) ומתקיים כב״מ, ולכן סינגולרית או קבועה.

נראה שהפירוק יחיד. נניח שגם פירוק של ומתקיים . אז מתקיים כב״מ:

אולם רציפה בהחלט ולכן אינה סינגולרית. מכאן שהיא קבועה. נשים לב כי ולכן פונקציית האפס. קיבלנו ש־ כנדרש.

אם מתירים לפונקציה סינגולרית קבוצה בת מנייה של נקודות אי־רציפות, אז לכל פונקציה בעלת השתנות חסומה (לא בהכרח רציפה) יש פירוק לבג. ההוכחה זהה, בתוספת העובדה שקבוצת נקודות האי־רציפות של פונקציה בעלת השתנות חסומה היא בת־מנייה, והיא גזירה כב״מ.

ראו גם

לקריאה נוספת

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. ^ פונקציה רציפה בהחלט היא פונקציה המקיימת שלכל קיים כך שלכל אוסף סופי של קטעים זרים בזוגות בתחום המקיימים מתקיים .
{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
פונקציה סינגולרית
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.