בקומבינטוריקה ובתורת המספרים , חלוקה של מספר טבעי היא הצגה שלו כסכום של חלקים, כמו
5
=
3
+
1
+
1
{\displaystyle 5=3+1+1}
. שתי חלוקות שההבדל היחיד ביניהן הוא סדר הרכיבים, נחשבות לאותה החלוקה. החלוקות מופיעות בתחומים שונים בקומבינטוריקה, כגון פולינומים סימטריים ותורת ההצגות של החבורה הסימטרית .
דיאגרמות יאנג של החלוקות השונות של המספרים 1 עד 8. כל הדיאגרמות באותו הצבע הן כל החלוקות האפשריות של מספר.
מספר החלוקות השונות של
n
{\displaystyle n}
נקרא פונקציית החלוקה של
n
{\displaystyle n}
, ומקובל לסמנו
p
(
n
)
{\displaystyle p(n)}
. לדוגמה:
p
(
3
)
=
3
,
3
=
1
+
2
=
1
+
1
+
1
p
(
4
)
=
5
,
4
=
1
+
3
=
2
+
2
=
1
+
1
+
2
=
1
+
1
+
1
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}&p(3)=3,\quad 3=1+2=1+1+1\\&p(4)=5,\quad 4=1+3=2+2=1+1+2=1+1+1+1\end{aligned}}}
עבור הערכים
n
=
1
,
2
,
…
,
10
{\displaystyle n=1,2,\ldots ,10}
פונקציית החלוקה מקבלת את הערכים
p
(
n
)
=
1
,
2
,
3
,
5
,
7
,
11
,
15
,
22
,
30
,
42
{\displaystyle p(n)=1,2,3,5,7,11,15,22,30,42}
. ערכי הפונקציה גדלים במהירות, לדוגמה:
p
(
100
)
=
190569292
p
(
1000
)
≈
2.4
⋅
10
31
{\displaystyle {\begin{aligned}&p(100)=190569292\\&p(1000)\approx 2.4\cdot 10^{31}\end{aligned}}}
ג. ה. הארדי ורמנוג'אן הוכיחו ב-1917 [1]
את הנוסחה האסימפטוטית
p
(
n
)
∼
e
π
2
n
/
3
4
3
n
{\displaystyle p(n)\sim {\frac {e^{\pi {\sqrt {2n/3}}}}{4{\sqrt {3}}n}}}
. לצורך כך הם השתמשו בתאוריה של תבניות מודולריות , שהם היו ממייסדיה, כשהמציאו את "שיטת המעגל " לצורך הערכת המקדמים של פונקציית תטא המתאימה לפונקציית החלוקה
g
(
q
)
=
∑
p
(
n
)
q
n
=
∏
m
≥
1
(
1
−
q
m
)
−
1
{\displaystyle g(q)=\sum p(n)q^{n}=\prod _{m\geq 1}(1-q^{m})^{-1}}
בין התכונות המפתיעות של פונקציות החלוקה אפשר למנות את הקונגרואנציות שגילה רמנוג'אן: לכל
n
{\displaystyle n}
מתקיים כי
p
(
5
n
+
4
)
{\displaystyle p(5n+4)}
מתחלק ב-5. באופן דומה
p
(
7
n
+
6
)
{\displaystyle p(7n+6)}
מתחלק ב-7, ו-
p
(
11
n
+
6
)
{\displaystyle p(11n+6)}
מתחלק ב-11. תוצאות אלה קשורות במספרים מצולעים . מאוחר יותר התגלה גם שהמספרים
p
(
17303
n
+
237
)
{\displaystyle p(17303n+237)}
מתחלקים ב-13. בשנת 2000 הוכיח קן אונו שזהויות כאלו קיימות לכל מספר ראשוני ומספר שנים לאחר מכן תוצאה זו הורחבה לכל מספר שלם שזר ל-6.