שדה (מבנה אלגברי)
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
שדה הוא קבוצה לא ריקה של אברים (מספרים) עליהם מוגדרות פעולות חיבור, חיסור, כפל, וחילוק בעלות תכונות הדומות לאלו של הפעולות המתאימות על המספרים הרציונליים והממשיים.
השדות הידועים ביותר הם שדה המספרים הרציונליים, שדה המספרים הממשיים ושדה המספרים המרוכבים. שדות רבים אחרים, כגון שדות של פונקציות רציונליות, שדות מספרים ושדות p-אדיים, נלמדים ומשמשים רבות במתמטיקה, במיוחד בתורת המספרים ובגאומטריה אלגברית. רוב הפרוטוקולים הקריפטוגרפיים נשענים על שדות סופיים, כלומר שדות עם מספר סופי של איברים.
שדה אחד הוא הרחבה של שדה אחר אם קבוצת אבריו מכילה ממש את קבוצת השדה האחר, ושומרת על פעולות הכפל והחיבור שלו. תורת גלואה, אותה התחיל אווריסט גלואה במאה ה-19, מוקדשת להבנת הסימטריות (האוטומורפיזמים) של הרחבות שדה. בין היתר, תורה זו מראה כי לא ניתן לשלש זווית או לתרבע מעגל באמצעות סרגל ומחוגה. יתרה מזאת, היא מראה כי משוואות ממעלה חמישית אינן ניתנות לפתרון אלגברי.
שדות משמשים כרעיונות יסוד במספר תחומים מתמטיים. זה כולל ענפים שונים של אנליזה מתמטית, המבוססים על שדות עם מבנה נוסף. משפטים בסיסיים באנליזה מצביעים על המאפיינים המבניים של שדה המספרים הממשיים. כל שדה עשוי לשמש כסקלרים עבור מרחב וקטורי, שהוא ההקשר הכללי הסטנדרטי עבור אלגברה ליניארית. שדות מספרים, אחיהם של שדה המספרים הרציונליים, נלמדים לעומק בתורת המספרים.
בערך זה |