G-מודול - Wikiwand
For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for G-מודול.

G-מודול

G-מודול הוא חבורה אבלית שעליה פועלת חבורה באופן קומפטיבילי למבנה האבלי של .‏ -מודולים משמשים להגדרת קוהומולוגיה של חבורות.

הגדרה

תהי G חבורה ותהי חבורה אבלית כך ש- פועלת של משמאל, כלומר:

כך ש- ולכל ו- מתקיים .

כדי ש- תהייה -מודול נדרוש שפעולת מכבדת את המבנה החבורתי האבלי של , כלומר

.

במקרה זה אנו אומרים ש- הוא -מודול שמאלי. אם פועלת על מימין באופן דומה נקבל -מודול ימני. את קטגוריית ה- מודולים השמאליים מסמנים G-Mod ואת קטגוריית ה--מודולים הימניים מסמנים Mod-G. אלו הן קטגוריות אבליות.

תכונות בסיסיות

בסעיף זה נניח שכל ה--מודולים הם שמאליים. כל מה שנאמר כאן תקף גם ל--מודולים ימניים.

העתקה תיקרא מורפיזם של -מודולים או העתקה -ליניארית או -הומומורפיזם אם היא שומרת על הפעולה של (כלומר: G-equivariant). באופן מפורש:

ו-.

האוסף של -מודולים שמאליים והמורפיזמים שלהם יוצרים קטגוריה אבלית G-Mod. ניתן לזהות אותה עם חוג החבורה .

תת--מודול של -מודול הוא תת-חבורה כך ש-, כלומר לכל ו-. במקרה כזה אפשר להגדיר את -מודול המנה כחבורת מנה עם הפעולה .

דוגמאות

  • חבורה כלשהי, ו- פועלת טריוויאלית על , כלומר: .
  • החבורה הליניארית הכללית ( שדה) ו- מרחב וקטורי מעל מממד .
  • ו- הן גם חבורות טופולוגיות. במקרה זה דורשים שהפעולה של על תהיה גם רציפה.
{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
G-מודול
Listen to this article