איבר (מתמטיקה)
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
בתורת הקבוצות, איבר הוא פריט מתוך קבוצה. קבוצה מוגדרת באמצעות האיברים השייכים אליה. בתורת הקבוצות הנאיבית איבר יכול להיות כל עצם גשמי או מופשט, אך בדרך כלל איבר הוא אובייקט מתמטי. ניתן להציג קבוצה באמצעות סוגריים מסולסלים, שביניהם מפורטים כל איברי הקבוצה (כל האיברים שונים זה מזה, ואין חשיבות לסדר הופעת האיברים), למשל הנוסחה אומרת שקבוצה בשם מכילה שלושה איברים: האות האנגלית והמספרים 19 ו-7. ניתן גם להגדיר קבוצה באמצעות כלל המגדיר את תכונות איברי הקבוצה. למשל הנוסחה הוא מספר שלם חיובי זוגי , מגדירה את הקבוצה שאבריה הם כל המספרים הטבעיים הזוגיים (ורק הם).
בערך זה |
היחס הבסיסי בין איבר לקבוצה הוא השייכות ביניהם. כאשר איבר שייך לקבוצה מסמנים זאת בצורה ונאמר ש- כוללת את או ש- שייך ל-, אם אינו שייך נסמן זאת . קבוצה שאין בה איברים קרויה הקבוצה הריקה, שסימנה .
מקובל לחלק קבוצות לפי גודלן, או עוצמתן:
- קבוצה בעלת עוצמה סופית, או קבוצה סופית, היא קבוצה שבה מספר סופי של איברים (גם הקבוצה הריקה היא קבוצה סופית).
- קבוצה שמכילה אינסוף איברים היא בעלת עוצמה אינסופית, או קבוצה אינסופית.
קבוצות אינסופיות ניתן להגדיר רק על ידי כלל המגדיר את אברי הקבוצה - אך יש כללים שהשימוש בהם יוצר פרדוקסים. כדי להימנע מפרדוקסים כאלו, נוצרה תורת הקבוצות האקסיומטית. בתורה זו כל האובייקטים באשר הם הם קבוצות, ולכן כל איבר הוא בעצמו קבוצה.