אינדקס מילר
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
בקריסטלוגרפיה, אינדקס מילר הוא שיטת סימון המשמשת לתיאור מישורים וכיוונים בסריג של גביש. הסימון קרוי על-שמו של המינרלוג ויליאם האלוס מילר.
כדי לתאר באופן חד-משמעי סריג תלת-ממדי, יש לקבוע את נקודת הראשית, ואז לבחור לסריג בסיס. הבסיס כולל שלוש נקודות במרחב, והחצים המוליכים מן הראשית לנקודות אלה הם וקטורי הסריג, . כל נקודה של הסריג אפשר להציג, באופן יחיד, כצירוף ליניארי , כאשר המקדמים הם מספרים שלמים. הסימון מתייחס לישר העובר דרך הראשית ודרך הנקודה x לעיל, וכולל, לפיכך, גם את נקודות הסריג , וכן את .
כדי לאתר את הישר על הסריג, יש לדעת מהם וקטורי הבסיס שנבחרו. בדרך כלל בוחרים בסיס פרימיטיבי; עם זאת, כאשר מדובר בסריגים קובייתיים, מקובל לבחור בסיס אורתוגונלי, שבו הווקטורים מאונכים זה לזה, למרות שביחס לבסיס כזה יש נקודות בעלות מקדמים הרחוקים כדי 1/2 ממספר שלם. ניתן להבטיח שהמקדמים באינדקס מילר יהיו תמיד שלמים וזרים הדדית, משום שהישר תלוי רק ביחסים שבין המקדמים; כך גם עבור הסימונים הנוספים, המתוארים להלן.
הביטוי (סוגריים עגולים, במקום מרובעים) מתאר מישור. באופן פורמלי, זהו מישור האפסים של הפונקציונל , כאשר הם הפונקציונלים הבסיסיים, המוגדרים על ידי , כאשר היא הדלתא של קרונקר. במכפלה הפנימית של הסריג, זהו המישור המאונך לווקטור x; הוא כולל את כל הנקודות שמקדמיהן מקיימים את המשוואה . באינדקס מילר מקובל לכתוב במקום , כאשר a מספר חיובי. כך למשל, מייצג את המישור הנפרש על ידי הווקטורים ו- .
בנוסף לסימון שהוצג לעיל, מקובל להשתמש בסימון כדי לייצג את כל המישורים המתקבלים מ- על ידי פעולת חבורת הסימטריות של הסריג; בדומה, מתייחס לכל הישרים המתקבלים על ידי סימטריות מ- .