גבול (טופולוגיה)
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
מושג הגבול בטופולוגיה מרחיב את מושג הגבול בחשבון אינפיניטיסמלי בפרט ובמרחבים מטריים בכלל.
יש להשלים ערך זה: בערך זה חסר תוכן מהותי. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה. | |
נקודת גבול של קבוצה במרחב טופולוגי היא אבר (נקודה) במרחב הטופולוגי שבכל סביבה פתוחה שלה נמצאת נקודה אחרת השייכת לקבוצה. נקודת גבול של קבוצה נקראת גם נקודת הצטברות של הקבוצה.
מושג חשוב נוסף הוא גבול של סדרה, שהוא נקודה במרחב שהסדרה מתכנסת אליה (הגדרה מדויקת מופיעה בהמשך). מושג זה מכליל את מושג הגבול של סדרה מן החשבון האינפיניטסימלי.
במרחבים טופולוגיים המקיימים את תכונת המניה הראשונה, כגון מרחבים מטריים, קיים קשר חזק בין גבול של סדרה לגבול של קבוצה: נקודה היא נקודת גבול של קבוצה אם ורק אם קיימת סדרה של איברים מהקבוצה השונים מנקודה זו, המתכנסת אליה. קשר כזה אינו קיים במקרה הכללי: במרחבים שאינם מקיימים את תכונת המניה הראשונה, ייתכן שיש לקבוצה נקודת גבול, אך אין סדרה של אברי הקבוצה השונים מנקודה זו המתכנסת אליה.
כמו כן, במרחבים טופולוגיים שאינם מקיימים את תכונת המניה הראשונה, יש פונקציות השומרות על גבולות של סדרות מתכנסות ואינן רציפות; יש מרחבים שבהם לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת והם אינם קומפקטיים; ועוד. משום כך במרחבים טופולוגיים כלליים יש צורך להכליל את המושג של גבולות של סדרות למושג כללי יותר - גבולות של רשתות או מסננים, כפי שמפורט בהמשך