חוג נתרי
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
באלגברה מופשטת, חוג נתרי הוא חוג עם יחידה המקיים את תנאי השרשרת העולה על האידיאלים השמאליים שלו, כלומר כל סדרה עולה ממש של אידיאלים שמאליים בחוג כזה מוכרחה להסתיים. חוגים אלו קרויים על שמה של אמי נתר אשר חקרה חוגים אלה, בעקבות מורה דויד הילברט. מתנאי השרשרת נובע שכל אידיאל שמאלי של החוג הוא בעל מספר יוצרים סופי, ועובדה זו מגבילה את הגודל והמורכבות של חוגים נתריים. בתורת החוגים נודעת חשיבות מיוחדת לחוגים נתריים, בשל הקשר שלהם לאובייקטים גאומטריים ותורת המבנה שניתן לבסס עבורם; חוגים שאינם נתריים עשויים להיות מורכבים וסבוכים בהרבה.
אחת התכונות החשובות של חוגים אלה היא שלאידיאלים הראשוניים יש גובה סופי - ולכן אפשר ללמוד את הספקטרום באינדוקציה על הממד, דרך שרשראות של אידיאלים ראשוניים. גובהם של האידיאלים הראשוניים סופי, אבל אינו בהכרח חסום, ולכן ישנם חוגים נתריים שממד קרול שלהם אינסופי. עם זאת, לאלגברות אפיניות (קומוטטיביות), שהן אחד המקורות העיקריים לדוגמאות של חוגים נתריים, יש ממד קרול סופי.
תנאי השרשרת היורדת, שהוא דואלי לתנאי השרשרת העולה, מגדיר חוגים הנקראים ארטיניים. הסימטריה מדומה בלבד: כל חוג ארטיני הוא נתרי (משפט הופקינס-לויצקי). חוגים נתריים מקיימים את תנאי משפט גולדי, על שיכון חוגים ראשוניים (למחצה) בחוגים ארטיניים פשוטים (למחצה).
אוסף החוגים הנתריים סגור ביחס לפעולות אלגבריות מסוימות: חוג מנה של חוג נתרי הוא נתרי, וגם מכפלה ישרה של שני חוגים נתריים היא נתרית. לעומת זאת, (ובניגוד למצב עבור מודולים נתריים), תת-חוג של חוג נתרי אינו בהכרח נתרי. חוג הוא נתרי אם ורק אם כל המודולים הנוצרים סופית מעליו הם נתריים. חוג פולינומים מעל חוג נתרי הוא נתרי, וחוג המטריצות מעל חוג נתרי הוא נתרי.