במתמטיקה, מספר שלם הוא מחלק (או גורם) של מספר שלם אם אפשר לכתוב את כמכפלה של במספר שלם , כלומר אם קיים עבורו . במקרה כזה, השארית בחלוקה של ב- היא 0.
ערך זה עוסק בחלוקת מספרים. אם התכוונתם למחלק על משטח רימן, ראו
משטח רימן.
באופן פורמלי, נהוג לרשום או כדי לציין כי מחלק או לא מחלק את בהתאמה (לדוגמה, אבל ). מהגדרה זו נובע באופן מיידי כי לכל שלם (הומוגניות), ובפרט (רפלקסיביות). כמו כן, לכל שלם ובפרט (כי ). חשוב לזכור שאמנם אפס מחלק את אפס אבל פעולת החילוק באפס לא מוגדרת. בפרט הביטוי 0:0 לא מוגדר, כיוון שהשוויון מתקיים עבור כל מספר טבעי . בנוסף, היחס "מחלק את" הוא טרנזיטיבי, כיוון שאם וגם אזי קיימים עבורם ומכאן ולכן .
מהרפלקסיביות והטרנזיטיביות נובע ששהיחס מהווה קדם סדר מעל השלמים. היחס אינו יחס סדר חלקי מעל השלמים, כיוון שהוא לא אנטי-סימטרי (למשל וגם ). יחד עם זאת, היחס "מחלק את" מעל הטבעיים הוא אנטי-סימטרי כיוון שלכל אם וגם אז וגם ומכאן . לכן הוא סדר חלקי (חלש) מעל המספרים הטבעיים.
תכונה נוספת של המחלק היא ליניאריות, כלומר אם וגם אז לכל מתקיים .
לצורך הוכחת הליניאריות נוכיח תחילה את תכונת החיבור: אם אז ומכאן , לכן . מתכונת הליניאריות ותכונת ההומוגניות שהוכחנו קודם נובעת תכונת הליניאריות, כלומר: אם אז (הומוגניות), ומכאן .
למושג המחלק המשותף המקסימלי של שני מספרים יש חשיבות רבה בתורת המספרים האלמנטרית.
המשפט היסודי של האריתמטיקה, לפיו כל מספר טבעי יכול להיכתב כמכפלה ייחודית של מספרים ראשוניים, פרט לשינוי הסדר של הגורמים, גורם לעניין מוגבר במספרים הראשוניים המחלקים מספר נתון, כלומר בגורמים הראשוניים שלו.