Gyűrű (matematika)
From Wikipedia, the free encyclopedia
Az algebrában a két kétváltozós művelettel rendelkező struktúrákat gyűrűnek nevezünk – jelölésben: –, ha
- Abel-csoport,
- félcsoport és
- a tetszőleges elemekre fennállnak a következő disztributivitási szabályok:
- , és
- .
A + jellel jelölt műveletre általában összeadásként, a jellel jelölt műveletre pedig szorzásként hivatkozunk, ez azonban nem jelenti azt, hogy a gyűrű elemei számok, illetve hogy ezek a műveletek csak a szokásos, számokon értelmezett összeadás és szorzás műveletek lehetnének, hiszen ezt a fenti definícióban nem követeltük meg. Szokás ezért a gyűrű Abel-csoportját additív csoportnak, a félcsoportját pedig multiplikatív csoportnak is nevezni. Általában nem írjuk ki a szorzópontot, tehát helyett szerepel.
Ha kommutatív, akkor kommutatív gyűrűről beszélünk, ha pedig egységelemes, egységelemes gyűrűről.
Ha nullától különböző elemek szorzata ismét nullától különböző, akkor zérusosztómentes gyűrűről beszélünk. A kommutatív, zérusosztómentes, egységelemes gyűrűket integritástartományoknak nevezzük.