Vektoriális szorzat
From Wikipedia, the free encyclopedia
A vektoriális szorzat (más néven külső szorzat vagy keresztszorzat) háromdimenziós vektorokkal végzett olyan művelet, amelynek eredménye egy vektor. Míg a vektorok (és a rajtuk végzett műveletek közül például a skaláris szorzat) általánosíthatók több dimenzióra, a vektoriális szorzatot csak 3 dimenziós térben értelmezzük (7 dimenziós esetben is létezik vektoriális szorzat, ami azonban kevésbé használatos).
Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye. (2023 januárjából) |
Jelölése: a×b vagy [ab] (szóban: a kereszt b), hogy megkülönböztessük a skaláris szorzattól. A kereszt jelölés a német és az angol szakirodalomban is használatos. Az olasz és a francia szakirodalom a , az orosz az vagy jelölést részesíti előnyben.
Az jelölés és a külső szorzat elnevezés egy másik műveletre is vonatkozhat, ami bivektort rendel a két vektorhoz. Lásd még: Graßmann-algebra.
Értelmezése:
Ha elképzelünk egy paralelogrammát, aminek szomszédos oldalait az a és b vektorok alkotják, akkor a×b nagysága (tehát az eredményvektor hossza) éppen megegyezik a két vektor által kifeszített paralelogramma területével. Másként,
- Az eredményvektor nagysága (abszolútértéke, hossza) a két vektor hosszának és a közbezárt szögük szinuszának szorzata (0° ≤ θ ≤ 180°).
- Az eredményvektor állása merőleges mind a-ra, mind b-re (az a és b vektorok síkjára).
- Az eredményvektor iránya olyan, hogy az a, b és c jobbsodrású vektorrendszert alkot.
- (Egy a, b, c vektorrendszert akkor hívunk jobbsodrásúnak, ha a jobb kezünk beállítható úgy, hogy hüvelykujjunk a-val, mutatóujjunk b-vel, középső ujjunk pedig (az előbbi két ujjunkra merőlegesen) c-vel azonos irányba mutat.)
Derékszögű koordináta-rendszerben a c eredményvektor koordinátáit a következőképp kapjuk a és b koordinátáiból:
Vagy rövidebben: , ahol a Levi-Civita-szimbólumot jelenti.
Két vektor vektoriális szorzata akkor és csak akkor nullvektor, ha párhuzamos állásúak, hiszen ekkor a bezárt 0° vagy 180°, amiknek szinusza 0. Akkor lesz leghosszabb az eredményvektor, ha derékszögben állnak egymáshoz képest az összeszorzandó vektorok (mert 90° szinusza 1).
A fizikában számos helyen megjelenik, például az elektromágnesességben a Lorentz-erő vagy a Poynting-vektor kiszámolására. A klasszikus mechanikában a forgatómomentum és a forgatóimpulzus, vagy virtuális erők esetén, például a Coriolis-erő esetén.
A vektoriális szorzás és a keresztszorzás elnevezéseket először Josiah Willard Gibbs fizikus használta először; a külső szorzás kifejezés Hermann Graßmanntól származik.[1]