In matematica , in particolare nell'analisi funzionale , la convoluzione è un'operazione tra due funzioni di una variabile che consiste nell'integrare il prodotto tra la prima e la seconda traslata di un certo valore. Ha una forte somiglianza con la correlazione incrociata .
Convoluzione di due impulsi rettangolari
f
{\displaystyle f}
e
g
{\displaystyle g}
di pari lunghezza: la forma d'onda
f
∗
g
{\displaystyle f\ast g}
che ne risulta è un impulso triangolare. Si tratta del prodotto di una delle due funzioni, in tal caso
f
{\displaystyle f}
, con l'altra riflessa rispetto a
τ
=
0
{\displaystyle \tau =0}
e traslata di
t
{\displaystyle t}
, ottenendo
f
(
τ
)
g
(
t
−
τ
)
{\displaystyle f(\tau )g(t-\tau )}
. L'area del prodotto che ne risulta (in giallo) è il valore dell'integrale di convoluzione. Nell'asse orizzontale del grafico figurano i valori della variabile
τ
{\displaystyle \tau }
per rappresentare
f
{\displaystyle f}
e
g
{\displaystyle g}
, della variabile
t
{\displaystyle t}
per
f
∗
g
{\displaystyle f\ast g}
. Se i due segnali rettangolari avessero lunghezza differente la convoluzione genererebbe la funzione trapezio.
Convoluzione di un impulso rettangolare con la risposta impulsiva tipica di un circuito RC : il valore della convoluzione è la risposta del circuito quando l'ingresso è l'impulso rettangolare.
La convoluzione viene utilizzata in vari campi della fisica , della statistica , dell'elettronica , dell'analisi d'immagini e della grafica computerizzata . Quando si studiano sistemi dinamici lineari stazionari , l'uscita è data dalla convoluzione tra il segnale in ingresso e la risposta all'impulso del sistema, la cui trasformata di Laplace (o la trasformata di Fourier ) è la funzione di trasferimento del sistema.