Ipotesi del continuo
ipotesi di Georg Cantor sulle dimensioni possibili per gli insiemi infiniti / Da Wikipedia, l'enciclopedia encyclopedia
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In matematica, l'ipotesi del continuo è un'ipotesi avanzata da Georg Cantor che riguarda le dimensioni possibili per gli insiemi infiniti. Cantor introdusse il concetto di cardinalità e di numero cardinale (che possiamo immaginare come una "dimensione" dell'insieme) per confrontare tra loro insiemi transfiniti, e dimostrò l'esistenza di insiemi infiniti di cardinalità diversa, come ad esempio i numeri naturali e i numeri reali. L'ipotesi del continuo afferma che:
- Non esiste alcun insieme la cui cardinalità sia strettamente compresa fra quella dei numeri interi e quella dei numeri reali.
In simboli, dato che la cardinalità degli interi è (aleph-zero) e la cardinalità dei numeri reali è , l'ipotesi del continuo afferma:
dove indica la cardinalità di .
Il nome di questa ipotesi deriva dalla retta dei numeri reali, chiamata appunto "il continuo". Vi è anche una generalizzazione dell'ipotesi del continuo, denominata "ipotesi generalizzata del continuo", e che afferma che per ogni cardinale transfinito T
Gli studi di Gödel e Cohen hanno permesso di stabilire che nella teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel comprensiva dell'assioma di scelta l'ipotesi del continuo risulta indecidibile.