In geometria , un'ipotrocoide è una rulletta ottenibile come curva tracciata da un punto fissato ad un cerchio
c
{\displaystyle c}
di raggio
r
{\displaystyle r}
e posto a una distanza
d
{\displaystyle d}
dal centro (del cerchio
c
{\displaystyle c}
): quando
c
{\displaystyle c}
ruota all'interno di un cerchio più grande, di raggio
R
,
{\displaystyle R,}
traccia l'ipotrocoide.
La curva rossa è un'ipotrocoide disegnata facendo ruotare il cerchio nero, più piccolo, dentro il cerchio blu, più grande (i parametri sono R = 5, r = 3, d = 5).
L'ellisse (disegnata in rosso) può essere espressa come un caso speciale di un'ipotrocoide dove R = 2r ; nell'immagine, R = 10, r = 5, d = 1.
Un'ipotrocoide si può individuare con il seguente sistema di equazioni parametriche :
{
x
(
ϕ
)
=
(
R
−
r
)
cos
ϕ
+
d
cos
(
R
−
r
r
ϕ
)
y
(
ϕ
)
=
(
R
−
r
)
sin
ϕ
−
d
sin
(
R
−
r
r
ϕ
)
.
{\displaystyle {\begin{cases}x(\phi )=(R-r)\cos \phi +d\cos \left({R-r \over r}\phi \right)\\y(\phi )=(R-r)\sin \phi -d\sin \left({R-r \over r}\phi \right).\end{cases}}}
L'equazione polare di un'ipotrocoide è
ρ
(
ϕ
)
2
=
(
R
−
r
)
2
+
2
d
(
R
−
r
)
cos
(
R
r
ϕ
)
+
d
2
,
{\displaystyle \rho (\phi )^{2}=(R-r)^{2}+2d(R-r)\cos \left({R \over r}\phi \right)+d^{2},}
dove
ϕ
{\displaystyle \phi }
non è l'angolo polare
θ
,
{\displaystyle \theta ,}
ma, quando
x
≠
0
,
{\displaystyle x\neq 0,}
le due variabili sono legate dalla relazione:
tan
θ
=
y
x
=
(
R
−
r
)
sin
ϕ
−
d
sin
(
R
−
r
r
ϕ
)
(
R
−
r
)
cos
ϕ
+
d
cos
(
R
−
r
r
ϕ
)
.
{\displaystyle \tan \theta ={\frac {y}{x}}={\frac {(R-r)\sin \phi -d\sin \left({\frac {R-r}{r}}\phi \right)}{(R-r)\cos \phi +d\cos \left({\frac {R-r}{r}}\phi \right)}}.}
Tra i casi speciali di ipotrocoide vi sono l'ipocicloide , relativa a
d
=
r
,
{\displaystyle d=r,}
e l'ellisse , ottenuta quando
R
=
2
r
.
{\displaystyle R=2r.}
Le ipotrocoidi, così come le epitrocoidi , possono essere tracciate materialmente da una apparecchiatura chiamata spirografo .