Serie divergente
serie infinita non convergente / Da Wikipedia, l'enciclopedia encyclopedia
Caro Wikiwand AI, Facciamo breve rispondendo semplicemente a queste domande chiave:
Puoi elencare i principali fatti e statistiche su Serie divergente?
Riassumi questo articolo per un bambino di 10 anni
In matematica, una serie divergente è una serie non convergente e non indeterminata. In altre parole, la successione delle somme parziali diverge, ossia
Equivalentemente, esplicitando la definizione di limite, per ogni esiste un indice positivo tale che per ogni .
Contrariamente a quanto appena definito, alcuni testi inseriscono nella definizione di serie divergente anche quella di serie indeterminata, ossia definiscono serie divergente una serie in cui la successione delle somme parziali diverge o non converge. La differenza consiste nell'inserire l'eventualità che non esista il limite .
In una serie convergente il termine generale della serie deve tendere a 0 ed è dunque detto infinitesimo. Così, una serie nella quale il termine generale non tende a 0 è divergente o è indeterminata.
Questa condizione è necessaria, ma non sufficiente, infatti non tutte le serie i cui termini tendono a 0 convergono. Il più noto esempio di serie divergente a termini infinitesimi è la serie armonica.
Osserviamo infatti che, nonostante
la serie diverge. La sua divergenza fu dimostrata dal matematico medievale Nicola d'Oresme.
In campi specializzati della matematica, valori finiti possono essere assegnati a certe serie divergenti. Il metodo della sommatoria è una funzione parziale che associa alla serie un valore. Per esempio la somma di Cesàro assegna alla serie di Grandi il valore . Il metodo utilizza la media delle somme parziali. Altri metodi possono utilizzare le continuazioni analitiche, le regolarizzazioni e le rinormalizzazioni.
La serie armonica generalizzata con diverge per e converge per .