利用者:Yushu-kasai/sandbox/対数
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数学における対数(たいすう、英:logarithm)とは、数 x を bp と表した時の冪指数 pであり、「底を b とする数 x の対数(英:the logarithm of a number x to the base b)」と一般に表記される。例えば、1000 = 103 であるが、この時、底を 10 とする 1000 の対数は 3となる。底を b とする x の対数は、通常 logb (x) または括弧抜きで logb x、混同の可能性が無い時やランダウ記法のような底が意味を持たない時は、底も省略してlog x と表記される。この時、 x に当たる数は、真数(しんすう、英: antilogarithm)と呼ばれる。また、数 x に対応する対数を与える関数を考えることができ、そのような関数を対数関数と呼ぶ。対数関数は指数関数の逆関数である。
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10 を底とする対数は、常用対数と呼ばれ、科学や工学の分野で一般的に使用される。自然対数とは、ネイピア数 e ≈ 2.718 を底に持つ対数で、非常に単純な導関数となるため、数学や物理学の分野で広く使用されている。二進対数は、底を 2 とする対数で、計算機科学の分野で頻繁に使用される。
対数は、計算を簡略化する手段として、1614年にジョン・ネイピアによって導入されたのが始まりである。その後、精度の高い計算をより簡単に行うために、航海士、科学者、工学者、測量士などに対して急速に普及していった。以下の公式の通り、ある因数同士の積の対数は、その因数の対数の和に等しいため、対数表を用いれば、複数桁に及ぶ繁雑な計算を、簡単な足し算に置き換えることができる。
ただし、b, x, y は全て正で、また b ≠ 1 でなければならない。 計算尺は、対数の原理を用いた計算用具であり、対数表を用いずに即座に計算結果を求めることができる一方、精度は低くなる。
こんにちの対数の概念は、18世紀の数学者レオンハルト・オイラーによるものである。オイラーは対数の概念を指数関数の概念と関連付けた他、ネイピア数 e を定義した数学者でもある。
対数目盛を使用することで、広範囲にわたる正の値を、より小さな範囲で表すことができる。例えば、デシベル(dB)は、電磁波の減衰量、音圧レベル、振動加速度レベルの3つの物理量を、基準となる量に対する比の対数で表す単位である。またpHは、化学において水溶液の酸性度を対数的に表現する単位である。他にも対数は、科学における公式、計算複雑度やフラクタル図形の測定などに用いられる。更には、音程の振動数比を表記したり、素数の数を数えたり、階乗値の近似値を求めたりする公式に現れたり、精神物理学のモデル生成や法廷会計学における情報処理などに役立ったりする。
対数関数の概念は、他の数学的概念にも拡張できる。ただし、一般的に、そのような対数関数は多価関数になる傾向が高い。例えば、複素対数関数は複素指数関数の逆関数たる多価関数である。また、離散対数は、有限群における指数関数の逆関数たる多価関数であり、これは公開鍵暗号のシステムの構築に応用されている。