For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Afstand (wiskunde).

Afstand (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Samenvoegen Ten minste één Wikipediagebruiker vindt dat de onderstaande inhoud, of een gedeelte daarvan, samengevoegd zou moeten worden met Gewone metriek, of dat er een duidelijkere afbakening tussen deze artikelen dient te worden gemaakt (bekijk voorstel).

In de wiskunde is een begrip afstand of metriek gedefinieerd als generalisatie van het gewone afstandsbegrip. Deze generalisatie is zo gekozen dat een aantal kenmerkende eigenschappen van het gewone afstandsbegrip behouden blijven.

In de differentiaalmeetkunde en relativiteitstheorie wordt het woord metriek gebruikt om te refereren aan een metrische tensor. De ruimte is daarbij in veel gevallen geen metrische ruimte, doordat een deel van de definiërende eigenschappen daar niet gelden.

Definitie

Een metriek of afstand op een verzameling is een afbeelding die aan de volgende axioma's voldoet.

Voor willekeurige geldt:

(niet-negativiteit).
(scheidingseigenschap).
(symmetrie).
(de driehoeksongelijkheid).

Voor twee elementen is de afstand van tot . Het axioma van symmetrie zegt dat de afstand van tot gelijk is aan de afstand van tot , zodat men eenvoudig van de afstand tussen en kan spreken. De axioma's garanderen verder dat twee verschillende elementen geen afstand 0 kunnen hebben. De driehoeksongelijkheid laat zien dat de weg over een derde punt niet korter kan zijn dan de directe weg.

Als de scheidingseigenschap wordt afgezwakt door "slechts dan" weg te laten, heet een pseudometriek. In dat geval kunnen er elementen zijn die van elkaar verschillen, maar toch een (pseudo)afstand 0 tot elkaar hebben.

Voorbeelden

Een belangrijk voorbeeld van een metriek op is de gewone metriek (de euclidische afstand):

,

waarbij voor :

Oude isochrone kaart van Melbourne met betrekking tot reizen per spoor, incl. aansluitend lopen
Oude isochrone kaart van Melbourne met betrekking tot reizen per spoor, incl. aansluitend lopen

Een speciaal geval van het bovenstaande vormen de complexe getallen met:

(de modulus van ).

Een ander voorbeeld van een metriek op is de 'Manhattan blokmetriek':

.

Deze metriek dankt zijn naam aan het tweedimensionale voorbeeld waarbij men in een stadswijk met een patroon van elkaar loodrecht kruisende straten, volgens de kortste weg van hoekpunt A naar hoekpunt B wandelt.

Meer algemeen kan men bij een netwerk van wegen met tweerichtingsverkeer de afstand tussen twee punten op het netwerk definiëren als de kortste afstand over de weg. Als de snelheid waarmee men zich verplaatst, hoewel eventueel afhankelijk van de positie, steeds in tegenovergestelde richting gelijk is, kan men de "afstand" ook definiëren als de kortste reistijd. Een daarbij behorende sfeer heet een isochroon. Een isochrone kaart toont isochronen ten opzichte van een centraal punt.

Discrete metriek

Zie discrete metriek voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Voor een willekeurige verzameling is de afbeelding die elk identiek puntenpaar op 0 afbeeldt, en elk ander puntenpaar op 1, een metriek die de discrete metriek genoemd wordt. Deze metriek geeft in essentie slechts aan of twee elementen verschillend zijn of niet.

Metriek op een vectorruimte

Uitgaande van een norm op een genormeerde vectorruimte kan de volgende metriek worden gedefinieerd:

Deze metriek wordt de door de norm geïnduceerde metriek genoemd. Zie bijvoorbeeld (hierboven) de geïnduceerde metriek op .

Omgekeerd induceren metrieken die zowel homogeen als translatie-invariant zijn, een norm op een vectorruimte. Een metriek op een vectorruimte heet homogeen, als

,

en translatie-invariant als

.

Een dergelijke metriek induceert een norm op door de definitie

Translatie-invariante metriek

Meer algemeen dan hierboven behandeld is een metriek op een abelse groep translatie-invariant als die slechts afhangt van het verschil van de beide elementen. Een dergelijke metriek is geheel bepaald door de afstanden tot 0. Dit kan ook zo worden uitgedrukt dat iedere translatie een isometrie is.

Absolute waarde

Op een integriteitsdomein (al of niet met 1) met absolute waarde kan een translatie-invariante metriek gedefinieerd worden door de absolute waarde als afstand tot 0 te beschouwen.

p-adische norm

Een speciaal geval van een absolute waarde is, voor elk priemgetal , de -adische norm (geen echte norm). De bijbehorende translatie-invariante metriek is die van de -adische getallen

Ultrametriek

Een ultrametriek is een metriek met een sterkere driehoeksongelijkheid, namelijk

(ultrametrische ongelijkheid).

Bij (onder meer) een ultrametriek heeft lengte geen duidelijke betekenis, zelfs niet in een eenvoudig eendimensionaal geval, zoals de lengte van een lijnstuk. De afstand van het begin tot het eind is niet te interpreteren als de lengte van een kortste route die de som is van de lengtes van delen van de route.

Ook is het zo dat als een punt ligt op een lijnstuk waarvan de uiteinden een kleine afstand tot elkaar hebben, dit niet impliceert dat dat punt een kleine afstand heeft tot de uiteinden.

Voor elk priemgetal is de bovengenoemde translatie-invariante metriek van de -adische getallen een voorbeeld van een ultrametriek.

Een ander voorbeeld is de bovengenoemde discrete metriek.

Equivalentie van metrieken

Twee metrieken en op een verzameling zijn equivalent als er getallen bestaan zodat voor alle geldt:

en

Voorbeelden

In zijn de volgende metrieken equivalent:

  • De gewone metriek
  • De metriek gegeven door
  • De metriek gegeven door

Begrensde metriek

Een begrensde metriek is een metriek waarvoor er een bestaat zodat

Voorbeeld

De metriek gegeven door:

is begrensd.

Het is duidelijk dat

Opmerking bij het eerste axioma

Het axioma (niet-negativiteit) is strikt genomen niet nodig aangezien het van de drie andere afgeleid kan worden. Stel dat er een strikt negatieve afstand tussen twee elementen en bestaat: . Door symmetrie is ook en is door de scheidingseigenschap (ook bij pseudometrieken). We kunnen dan een driehoeksongelijkheid bouwen die absurd is: (). Een negatieve afstand is dus niet mogelijk.

Afstand van een punt tot een verzameling

De afstand van een punt tot een niet-lege verzameling is de grootste ondergrens van de afstanden van het punt tot de punten van de verzameling.

Zie ook

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Afstand (wiskunde)
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.

X

Wikiwand 2.0 is here 🎉! We've made some exciting updates - No worries, you can always revert later on