For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Aftelbare verzameling.

Aftelbare verzameling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Een aftelbare verzameling is in de wiskunde een verzameling waarvan de elementen afgeteld kunnen worden. Dat houdt in dat de elementen op een rij gezet kunnen worden met een eerste element, een tweede element, enzovoort, waarbij alle elementen aan de beurt komen. De eenvoudigste aftelbare verzamelingen zijn de eindige verzamelingen.

Een aftelbare verzameling is niet noodzakelijk eindig. Zo zijn ook de gehele getallen aftelbaar. We zetten ze als volgt in een rij om geteld te worden: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, enz. Het tellen van de elementen stopt weliswaar nooit, maar elk element komt aan de beurt.

Er zijn ook verzamelingen die overaftelbaar zijn, dat wil zeggen niet aftelbaar. Een verzameling is dus eindig, aftelbaar oneindig, of overaftelbaar.

Definitie

Een aftelbaar oneindige verzameling is een verzameling die gelijkmachtig is met , d.w.z. dat er een bijectie bestaat.

De volgende definities zijn equivalent: Een verzameling is aftelbaar als:

  • eindig of aftelbaar oneindig is
  • er een surjectie bestaat
  • er een injectie bestaat
  • er een bijectie bestaat, of voor zeker geheel getal een bijectie
  • gelijkmachtig is met , of voor zeker geheel getal gelijkmachtig met

Eigenschappen

  • Als aftelbaar is en er bestaat een surjectieve functie , dan is ook aftelbaar.
  • Een eindig product van aftelbare verzamelingen is aftelbaar. Dat kan als volgt ingezien worden:
Stel dat tot en met aftelbaar zijn, met een natuurlijk getal. Dan zijn er surjectieve functies tussen de natuurlijke getallen en . Die surjectieve functies kunnen gecombineerd worden tot één surjectieve functie:
Daar aftelbaar is voor alle natuurlijke , is ook aftelbaar.

Voorbeelden

  • Een mogelijke aftelling van is:
Eerst worden dus de paren met som 0 opgeschreven, dan die met som 1, daarna met som 2, enzovoort. Deze procedure kan uitgebreid worden naar een willekeurige eindige macht van .
  • De verzameling van de positieve rationale getallen is aftelbaar, want elk positief rationaal getal correspondeert met een koppel natuurlijke getallen (teller, noemer). Door afwisselend een positief en een negatief rationaal getal te tellen, volgt ook dat de verzameling van alle rationale getallen aftelbaar zijn.
{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Aftelbare verzameling
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.