Axioma's van Peano
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedia
In de wiskundige logica zijn de axioma's van Peano (ook bekend als de axioma's van Dedekind-Peano of de postulaten van Peano) een verzameling axioma's voor de natuurlijke getallen, geformuleerd door de 19e-eeuwse Italiaanse wiskundige Giuseppe Peano. Deze axioma's zijn in vrijwel onveranderde vorm in een aantal metawiskundige onderzoekingen gebruikt, waaronder fundamenteel onderzoek naar de consistentie en volledigheid van de getaltheorie.
De behoefte aan formalisme in de rekenkunde werd niet op waarde geschat tot het werk van Hermann Grassmann, die in de jaren 1860 liet zien dat veel feiten in de rekenkunde kunnen worden afgeleid uit fundamentele eigenschappen van de opvolgeroperatie en de methode van de volledige inductie[1]. In 1888 stelde Richard Dedekind een collectie van axioma's voor over de getallen,[2] en in 1889 publiceerde Peano een meer precies geformuleerde versie ervan als een collectie van axioma's in zijn boek, Arithmetices principia, nova methodo exposita (Latijn voor: De beginselen van de rekenkunde op een nieuwe methode gepresenteerd).[3]
De axioma's van Peano bevatten drie typen van uitspraken. De eerste vier uitspraken zijn algemene uitspraken over gelijkheid; in moderne behandelingen worden deze uitspraken vaak gezien als axioma's van pure logica. De volgende vier axioma's zijn uitspraken binnen de predicatenlogica, zij gaan over de natuurlijke getallen, die de fundamentele eigenschappen van de opvolgeroperatie uitdrukken. Het negende en laatste axioma legt de methode van volledige inductie over de natuurlijke getallen vast. Een zwakker eerste-orde systeem, dat Peano-rekenkunde wordt genoemd, wordt verkregen door dit tweede-orde inductie-axioma te vervangen door een eerste-orde axiomaschema.