For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Axioma's van de kansrekening.

Axioma's van de kansrekening

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

De axioma's van de kansrekening zijn enkele door de Russische wiskundige Kolmogorov geformuleerde axioma's om een strenge onderbouwing te geven aan de kansrekening. Gedurende lange tijd werd kansrekening bedreven op grond van experimenten met een eindig aantal even waarschijnlijke uitkomsten. Op tamelijk gekunstelde wijze werden situaties die niet direct op deze wijze beschreven konden worden, zo gemodelleerd dat zij toch in dit raamwerk pasten. Meer en meer leidde dit tot onoverkomelijke moeilijkheden in de theorie. In 1933 publiceerde Kolmogorov in het Duits het leerboek Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, uitgegeven door het Springer-Verlag in Heidelberg. Daarin doorbrak hij de impasse door een axiomatische aanpak van de kansrekening voor te stellen.

Kansruimte

Bij kansrekening is er altijd sprake van een niet-lege verzameling , de uitkomsten, en een collectie deelverzamelingen daarvan, , de gebeurtenissen. Op de collectie gebeurtenissen is een kans (van 'Probabilitas') gedefinieerd. De verzameling kan worden gezien als de verzameling van de mogelijke uitkomsten van een kansexperiment; daarom wordt de uitkomstenruimte genoemd en de elementen van uitkomsten. Over het algemeen kan niet iedere deelverzameling van als gebeurtenis optreden; de deelverzamelingen die wel als gebeurtenis kunnen optreden, vormen de speciale collectie . Om te garanderen dat allerlei met een of meer gebeurtenissen samenhangende deelverzamelingen van ook tot de gebeurtenissen behoren, wordt geëist dat een σ-algebra is. De kans moet voldoen aan de volgende voorwaarden, de zogenaamde axioma's van Kolmogorov:

  1. Voor iedere gebeurtenis geldt: (een kans is niet negatief).
  2. (de totale kans is genormeerd op een).
  3. Voor een rij disjuncte gebeurtenissen , dus met voor , geldt:
.
(In woorden: voor een rij (of aftelbare verzameling) gebeurtenissen die niet tegelijkertijd kunnen optreden, kan de kans dat een van deze gebeurtenissen optreedt, berekend worden als de som van de kansen op de afzonderlijke gebeurtenissen.)

Een dergelijk drietal heet kansruimte en is een bijzonder geval van een maatruimte.

Voorbeelden

Voorbeeld 1

De kansruimte is met eindig, de machtsverzameling van , en met de som van de kansen op alle singleton-gebeurtenissen (uitkomsten) gelijk aan 1.

Voorbeeld 2

Bij eenmaal gooien met een dobbelsteen is de uitkomstenruimte (verzameling mogelijke uitkomsten) Ω = {1,2,3,4,5,6}. Voor de gebeurtenissen kunnen we hier alle deelverzamelingen van Ω nemen. De kans op een van de ogenaantallen 1 tot en met 6, dus de kans op heel Ω, is 1. De kans op een van de ogenaantallen uit {1,2,3,5,6} is gelijk aan de kans op een uitkomst uit {1,5} plus de kans op een uitkomst uit {2,3,6}. Bij een zuivere dobbelsteen zal de kans op elk van de gebeurtenissen {1}, {2}, ...,{6} hetzelfde zijn en dus gelijk aan 1/6. Voor de hiervoor genoemde gebeurtenissen geldt dan:

.

Voorbeeld 3

In het geval van drie mogelijke uitkomsten 1, 2 en 3, zijn er vijf mogelijke collecties gebeurtenissen :

  1. , bevat alle singletons {1}, {2} en {3}, zodat alle uitkomsten onderscheiden kunnen worden;
  2. , bevat het singleton {1}, maar niet {2} en {3}, zodat de uitkomsten 2 en 3 niet onderscheiden kunnen worden;
  3. , bevat het singleton {2}, maar niet {1} en {3}, zodat de uitkomsten 1 en 3 niet onderscheiden kunnen worden;
  4. , bevat het singleton {3}, maar niet {1} en {2}, zodat de uitkomsten 1 en 2 niet onderscheiden kunnen worden;
  5. , bevat geen van de drie singletons,en bestaat dus alleen uit de lege verzameling en de gehele uitkomstenruimte. Het experiment maakt geen onderscheid tussen de drie uitkomsten.

In de laatste vier gevallen kan het model vereenvoudigd worden door dienovereenkomstig de uitkomstenruimte te verkleinen tot een of twee uitkomsten. Vervolgens wordt het kansmodel geheel bepaald door de kansen op de afzonderlijke uitkomsten.

Eigenschappen

Opmerking: In de verzamelingenleer is gedefinieerd:

Uit bovenstaande axioma's zijn de volgende eigenschappen afleidbaar:

immers, ; er geldt dus
  • als , een eindig aantal paarsgewijs disjuncte gebeurtenissen is (elk tweetal heeft een lege doorsnede), dan geldt:
immers,
  • als paarsgewijs disjuncte gebeurtenissen zijn, en , dan geldt
dit volgt uit axioma 3, door de keuze , voor k>n in combinatie met axioma 2
  • als en gebeurtenissen zijn, geldt
want en zijn disjunct, zodat
ook zijn en disjunct
(immers en )
zodat

Zie ook

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Axioma's van de kansrekening
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.