For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Cantorverzameling.

Cantorverzameling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

De cantorverzameling, genoemd naar de Duitse wiskundige Georg Cantor, is een deelverzameling van de reële getallen die volgens de maattheorie maat 0 heeft, maar toch dezelfde kardinaliteit heeft als de reële getallen. De precieze vorm staat hieronder beschreven.

Naar analogie van de hieronder beschreven cantorverzameling noemt men soortgelijke verzamelingen ook cantorverzamelingen.

De cantorverzameling is ook een zeer eenvoudige fractal.

Definitie

De eerste zeven stappen van de constructie van de cantorverzameling
De eerste zeven stappen van de constructie van de cantorverzameling

De cantorverzameling, in verband met het gegeneraliseerde begrip ook 'middelste-derde Cantorverzameling' genoemd, wordt geconstrueerd door, uitgaande van het interval [0,1], telkens het middelste derde deel van een interval uit te snijden.

Er zijn meerdere karakteriseringen mogelijk, die alle equivalent zijn:

  • De eerste is een intuïtieve, constructieve. Neem het interval en knip daar het middelste derde uit weg. Er blijven twee intervallen over: en . Uit elk van deze twee intervallen knippen we weer het middelste deel weg. Als we dat nu oneindig veel keer doen, vinden we als limiet de cantorverzameling.
  • Een tweede karakterisering maakt gebruik van het 3-tallig stelsel. De cantorverzameling bevat de getallen uit het interval [0,1] die in het 3-tallig stelsel geschreven kunnen worden zonder 1'en erin. Zo zit het getal in de cantorverzameling want in het 3-tallig stelsel kan dat geschreven worden als 0,1, maar ook als 0,0222... Zo zit ook er in want in het 3-tallig stelsel kan dat als 0,22 geschreven worden. Het getal zit niet in de cantorverzameling, want dat is in het 3-tallig stelsel 0,111... en laat geen schrijfwijze zonder 1-en toe.
  • Een derde karakterisering is meer formeel. De cantorverzameling is de attractor van het IFS (iterated function system) dat bestaat uit de afbeeldingen en die als volgt gedefinieerd zijn:
Dit IFS beschrijft mooi dat de cantorverzameling een zelfgelijkende verzameling is.

Eigenschappen

  • De cantorverzameling heeft een totale lengte gelijk aan 0. Telkens wanneer we bij de constructie van de cantorverzameling het middelste weghalen uit elk interval, verkleinen we de totale lengte met een factor twee derde. Meer formeel zegt men dat de cantorverzameling lebesgue-maat 0 heeft.
  • De cantorverzameling heeft dezelfde kardinaliteit als het interval [0,1] en dus als de verzameling van de reële getallen.
  • De cantorverzameling is gesloten, de grootste samenhangende deelverzameling is een punt, en voor ieder element in de cantorverzameling is er willekeurig dichtbij nog een element in de verzameling. Op deze eigenschap is de definitie voor een algemene cantorverzameling gebaseerd.

Zie ook

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Cantorverzameling
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.