Cauchy-hoofdwaarde - Wikiwand
For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Cauchy-hoofdwaarde.

Cauchy-hoofdwaarde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de analyse, een deelgebied van de wiskunde, is de Cauchy-hoofdwaarde een getal dat als waarde wordt toegekend aan een divergente integraal als divergente delen van de integraal met verschillend teken zich wederzijds opheffen. Het gaat daarbij om oneigenlijke integralen met een singulariteit in de integrand of met de grenzen .

Voorbeelden

Voorbeeld 1

Van de oneigenlijke integraal heeft de integrand een singulariteit in het punt . De integraal bestaat niet, aangezien

en

De beide delen en zijn echter van tegengesteld teken en heffen elkaar op, zodat de Cauchy-hoofdwaarde gedefinieerd is:

Voorbeeld 2

De oneigenlijke integraal

bestaat niet, want

en

.

Omdat

,

heffen de twee delen elkaar op en is de Cauchy-hoofdwaarde gelijk aan:

De Cauchy-hoofdwaarde kent op deze manier een zinvolle waarde toe aan een integraal die oneigenlijk noch als Riemannintegraal, noch als Lebesgue-integraal bestaat.

Definitie

Er worden twee gevallen onderscheiden

Geval 1

Stel dat en de functie Riemann-integreerbaar is. Als de limiet

bestaat, noemt men deze limiet de Cauchy-hoofdwaarde[1] van de integraal en schrijft daarvoor:

Geval 2

Als continu is, en de limiet

bestaat, noemt men deze limiet de Cauchy-hoofdwaarde[2] en schrijft daarvoor:

Referenties

  1. Klaus Fritzsche: Grundkurs Funktionentheorie: Eine Einführung in die komplexe Analysis und ihre Anwendungen. 1. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, ISBN 3827419492, S. 155.
  2. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie. Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4, S. 177.
{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Cauchy-hoofdwaarde
Listen to this article