Centrum (groepentheorie)
groepentheorie / Uit Wikipedia, de vrije encyclopedia
In de abstracte algebra is het centrum van een groep de verzameling van elementen in die commuteren met alle andere elementen van :
Het centrum is een ondergroep van , want
- is niet leeg, omdat voor het eenheidsselement van geldt: voor alle , dus .
- is gesloten onder de groepsbewerking, omdat voor alle geldt: voor alle .
- Van elke is ook de inverse , omdat voor alle .
Verder is een abelse ondergroep van , een normaaldeler van en zelfs een strikte karakteristieke ondergroep van , maar niet altijd volledig karakteristiek. Het centrum van een groep is ook de doorsnede van de centralisators van alle elementen van de groep.
Het centrum van is gelijk aan dan en slechts dan als een abelse groep is. Het andere uiterste is het als het centrum van triviaal is, dat wil zeggen alleen uit het eenheidselement bestaat. heet dan centrumloos. Het centrum is een begrip dat in de algebra meer algemeen voorkomt, voor meer structuren, maar de definitie komt steeds overeen met de hier gegeven definitie voor groepen.