Algemeen gebruik

De term "commutatief" wordt in een aantal verschillende contexten gebruikt.^[1][2]

1. Een binaire operatie ${\displaystyle *}$ op een verzameling ${\displaystyle S}$ wordt commutatief genoemd als voor alle elementen ${\displaystyle x,y\in S}$ geldt:

${\displaystyle x*y=y*x}$

Een operatie die niet voldoet aan deze eigenschap wordt niet-commutatief genoemd

2. Een binaire functie ${\displaystyle f:A\times A\to B}$ wordt commutatief, of symmetrisch, genoemd, als voor alle elementen ${\displaystyle x,y\in A}$ geldt:

${\displaystyle f(x,y)=f(y,x)}$

In het algemeen zegt men dat twee elementen ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ commuteren onder de operatie ${\displaystyle *}$, als ze aan bovenstaande identiteit voldoen. De operatie is commutatief als elk willekeurig tweetal elementen met elkaar commuteert.

Centralisator

De centralisator van een element ${\displaystyle x\in S}$ bestaat uit de elementen van ${\displaystyle S}$ die met ${\displaystyle x}$ commuteren. Algemener: de centralisator van een deelverzameling ${\displaystyle D}$ van ${\displaystyle S}$ bevat de elementen van ${\displaystyle S}$ die met alle elementen van ${\displaystyle D}$ commuteren.

Voorbeelden

Commutatieve handelingen in het dagelijks leven

• Bij het teruggeven van wisselgeld maken we gebruik van de commutativiteit van optellen. Het maakt immers niet uit in welke volgorde we de munten teruggeven, de munten tellen ongeacht de volgorde, waarin ze worden teruggegeven, altijd op tot hetzelfde bedrag.

Commutatieve operaties in de wiskunde

De bekendste voorbeelden van binaire commutatieve operaties zijn optellen en vermenigvuldigen van natuurlijke getallen:

${\displaystyle a+b=b+a}$; voorbeeld: 5 + 2 = 7 = 2 + 5

${\displaystyle a\times b=b\times a}$; voorbeeld: 5 × 6 = 30 = 6 × 5

Andere commutatieve binaire operaties zijn o.a. optellen en vermenigvuldigen van reële en complexe getallen, optellen van vectoren en het inproduct.

Niet-commutatieve operaties in de wiskunde

Voorbeelden van operaties die niet commutatief zijn:

• aftrekken: 5 – 2 (= 3) is niet hetzelfde als 2 – 5 (= -3)
• delen: 6/3 (= 2) is niet hetzelfde als 3/6 (= ½)
• machtsverheffen: hoewel ${\displaystyle 2^{4}=16=4^{2))$ is ${\displaystyle 2^{3))$ (= 8) niet hetzelfde als ${\displaystyle 3^{2))$ (= 9)
• Samenstelling van lineaire operatoren tussen vectorruimten, zoals matrixvermenigvuldiging.

Commutator

De groepentheorie en de theorie der ringen hanteren elk een verschillend begrip van commutator, dit is een element dat intuïtief de mate aangeeft waarin ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ niet commuteren.

Commutatief diagram

In de categorietheorie is een diagram commutatief als elke twee samenstellingen van morfismen in het diagram die hetzelfde domein en doel hebben, gelijk zijn.

Voetnoten