For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Eulerkarakteristiek.

Eulerkarakteristiek

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In wiskunde, meer bepaald in de algebraïsche topologie, een deelgebied van de topologie, en in de combinatoriek van de veelvlakken, is de eulerkarakteristiek of Euler-Poincaré-karakteristiek, een topologische eigenschap, namelijk een geheel getal dat wiskundige structuur of de essentie van de vorm van een topologische ruimte beschrijft, maar verder invariant is onder vervorming. Een eulerkarakteristiek wordt gewoonlijk aangeduid door de Griekse letter (chi).

De eulerkarakteristiek werd oorspronkelijk gedefinieerd voor veelvlakken en gebruikt om verschillende stellingen over veelvlakken te bewijzen. Leonhard Euler, naar wie deze karakteristiek is vernoemd, was verantwoordelijk voor veel van het vroege werk. In de moderne wiskunde ontstaat de eulerkarakteristiek vanuit de homologie en staat zij in verbinding met vele andere invarianten.

De eulerkarakteristiek, genoteerd als (chi), wordt voor oppervlakken van veelvlakken gedefinieerd volgens de formule

,

waar H, R en V respectievelijk de aantallen hoekpunten, ribben en vlakken in het gegeven veelvlak zijn.

Veelvlakken

Niet-zelfdoorsnijdende niet-samengestelde veelvlakken

Zie Formule van Euler voor veelvlakken voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De eulerkarakteristiek van alle niet-zelfdoorsnijdende niet-samengestelde veelvlakken is twee, hoe onregelmatig zij verder ook zijn.

.

Dit resultaat staat bekend als de formule van Euler voor veelvlakken. Bekende voorbeelden van deze lichamen zijn de zesvlakken en de vijf regelmatige veelvlakken, of Platonische lichamen.

Zelfdoorsnijdende veelvlakken

Er zijn veelvlakken, die kunnen worden gezien als een zelfdoorsnijdend veelvlak, maar tegelijk als een normaal veelvlak. Voor hetzelfde lichaam verschilt dan het aantal hoekpunten, ribben en vlakken. Gezien als een normaal veelvlak is de eulerkarakteristiek gelijk aan twee. Gezien als een zelfdoorsnijdend veelvlak is de eulerkarakteristiek van hetzelfde lichaam meestal anders. De oppervlakken van zelfdoorsnijdende veelvlakken kunnen een verschillende eulerkarakteristiek hebben.

  • De zijvlakken van een icosaëder snijden elkaar niet,
    De zijvlakken van een icosaëder snijden elkaar niet,
  • van een grote dodecaëder daarentegen wel.
    van een grote dodecaëder daarentegen wel.

Voorbeelden van zelfdoorsnijdende veelvlakken

Naam Afbeelding Hoekpunten
H
Ribben
R
Vlakken
V
Euler-karakteristiek:
HR + V
Grote sterdodecaëder
Great stellated dodecahedron.png
20 30 12 2
Tetrahemihexahedron
Tetrahemihexahedron.png
6 12 7 1
Octahemioctahedron
Octahemioctahedron.png
12 24 12 0
Cubohemioctahedron
Cubohemioctahedron.png
12 24 10 −2
Grote dodecaëder
Great dodecahedron.png
12 30 12 −6

Voorbeelden

De eulerkarakteristiek kan gemakkelijk worden berekend voor algemene oppervlakken door een polygonisatie van het oppervlak te vinden (dat wil zeggen een beschrijving als een CW-complex) en gebruik te maken van de bovenstaande definities.

Naam Bestand Euler-karakteristiek
Interval
Complete graph K2.svg
1
Cirkel
Cirklo.svg
0
Eenheidsschijf
Disc Plain grey.svg
1
Sfeer
Sphere-wireframe.png
2
Torus
(Product van twee cirkels)
Torus illustration.png
0
Dubbele torus
Double torus illustration.png
−2
Drievoudige torus
Triple torus illustration.png
−4
Reëel projectief vlak
Steiners Roman.png
1
Möbiusband
MobiusStrip-01.png
0
Kleinfles
KleinBottle-01.png
0
Twee sferen (niet verbonden)
(Disjuncte vereniging van twee sferen)
Sphere-wireframe.png
Sphere-wireframe.png
2 + 2 = 4
Drie sferen (niet verbonden)
(Disjuncte vereniging van drie sferen)
Sphere-wireframe.png
Sphere-wireframe.png
Sphere-wireframe.png
2 + 2 + 2 = 6

Elke samentrekbare ruimte (dat wil zeggen, een homotopie gelijkwaardig aan een punt) heeft een triviale homologie, wat wil zeggen dat het 0-de Betti-getal gelijk is aan 1 en de andere Betti-getallen gelijk zijn aan 0. Daarom is zijn eulerkarakteristiek gelijk aan 1. Dit geval bevat de Euclidische ruimte van elke dimensie, evenals de vaste eenheidsbal in elke Euclidische ruimte - het eendimensionale interval, de tweedimensionale schijf, de driedimensionale bal, enzovoorts.

De n-dimensionale sfeer heeft Betti-getal 1 in dimensies 0 en n, alle andere Betti-getallen zijn hier gelijk aan 0. Vandaar zijn eulerkarakteristiek van - dat wil zeggen, ofwel 0 of 2.

De n-dimensionale reële projectieve ruimte is het quotiënt van de n-sfeer en haar antipodale afbeelding. Hieruit volgt dat de eulerkarakteristiek precies de helft van die van de corresponderende sfeer is - ofwel 0 of 1.

De n-dimensionale torus is de productruimte van n cirkels. De eulerkarakteristiek is 0, door de producteigenschap.

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Eulerkarakteristiek
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.