For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Indicator (getaltheorie).

Indicator (getaltheorie)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de getaltheorie is de indicator of totiënt van een positief natuurlijk getal , genoteerd als , het aantal positieve natuurlijke getallen kleiner dan of gelijk aan die onderling ondeelbaar zijn met . Zo is bijvoorbeeld , omdat van elk van de vier oneven getallen 1, 3, 5 en 7 de grootste gemene deler met 8 gelijk is aan 1, en die vier getallen daarom onderling ondeelbaar met 8 zijn. De indicator wordt veelal in verband gebracht met de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler, die deze functie uitgebreid bestudeerde.

Definitie

De indicator of totiënt van een natuurlijk getal is het aantal positieve natuurlijke getallen kleiner dan of gelijk aan die relatief priem zijn met .

Voorbeelden

Voor een priemgetal is , omdat alle gehele getallen geen deler met gemeen hebben. Zo is . Alle overige priemgetallen zijn oneven, zodat een even getal is.

Voor het getal 12 geldt dat 1, 5, 7 en 11 geen gemene deler met 12 hebben. Dus is .

Eigenschappen

  • De indicator geeft ook de omvang aan van de multiplicatieve groep van omkeerbare natuurlijke getallen modulo . Meer precies is de orde van de vermenigvuldigingsgroep van de omkeerbare elementen in de ring . Dit feit, samen met de stelling van Lagrange over de orde van een deelgroep, geeft een bewijs voor de stelling van Euler.
  • Het getal is ook gelijk aan het aantal generators van de cyclische groep . Omdat ieder element van een cyclische deelgroep genereert en de deelgroepen van van de vorm zijn waarin deler is van (geschreven als ), geldt:
waarin de som zich uitstrekt over alle positieve delers van .
  • Met behulp van de möbius-inversieformule kan deze som omgedraaid worden om een andere formule te krijgen voor
,
waarin de möbiusfunctie is.
  • De indicator is een multiplicatieve rekenkundige functie. Er geldt voor en die relatief priem zijn:
Bijvoorbeeld is .
(Schets van het bewijs: Zij de verzameling residuklassen modulo-en-onderling-ondeelbaar-tot respectievelijk; dan is er een bijectie tussen en via de Chinese reststelling.)

Berekening van de indicator

Uit de definitie volgt dat en als een priemgetal is. Voor een natuurlijke exponent geldt dat de getallen tussen 1 en die een priemfactor (noodzakelijk ) gemeen hebben met precies de veelvouden zijn van Het aantal van die veelvouden is zodat

Omdat een multiplicatieve functie is kan de waarde van berekend worden met de hoofdstelling van de rekenkunde. Als

waarin de verschillende priemgetallen zijn, dan is

Deze laatste formule is een euler-product en wordt meestal geschreven als

met het product over alle priemgetallen die deler zijn van .

Voortbrengende functies

Een dirichlet-reeks met is

Een lambert-rij voortbrengende functie is

,

geldig voor alle .

Groei van de functie

De groei van als een functie van is een interessante vraag, omdat de eerste indruk dat bij een kleine veel kleiner is dan ietwat misleidend is. Asymptotisch geldt dat bij iedere een bestaat, zodanig dat voor geldt:

Er geldt:

dus het product over de priemgetallen die delen. Uit de priemgetalstelling kan aangetoond worden dat voor constante dit vervangen kan worden door

Dit is ook waar in het gemiddelde:

waarin de grote O een landau-symbool is.

Enkele functiewaarden

Grafiek van de eerste 100 waarden van de eulerfunctie. De waarden op de bovenste lijn behoren bij de priemgetallen
Grafiek van de eerste 100 waarden van de eulerfunctie. De waarden op de bovenste lijn behoren bij de priemgetallen
n φ(n) n φ(n) n φ(n) n φ(n) n φ(n) n φ(n) n φ(n) n φ(n)
1 1 11 10 21 12 31 30 41 40 51 32 61 60 71 70
2 1 12 4 22 10 32 16 42 12 52 24 62 30 72 24
3 2 13 12 23 22 33 20 43 42 53 52 63 36 73 72
4 2 14 6 24 8 34 16 44 20 54 18 64 32 74 36
5 4 15 8 25 20 35 24 45 24 55 40 65 48 75 40
6 2 16 8 26 12 36 12 46 22 56 24 66 20 76 36
7 6 17 16 27 18 37 36 47 46 57 36 67 66 77 60
8 4 18 6 28 12 38 18 48 16 58 28 68 32 78 24
9 6 19 18 29 28 39 24 49 42 59 58 69 44 79 78
10 4 20 8 30 8 40 16 50 20 60 16 70 24 80 32

Overige

Literatuur

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Indicator (getaltheorie)
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.