Boxplot en kansdichtheidsfunctie van de normale verdeling N(0,σ²)

Een kansdichtheid of waarschijnlijkheidsdichtheid is een functie waarmee de kansverdeling van een continue stochastische variabele beschreven kan worden. Zo'n stochastische variabele ${\displaystyle X}$ neemt geen enkele individuele waarde aan met positieve kans. Hier geldt dus (op het eerste gezicht paradoxaal) voor alle ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle P(X=x)=0}$

Omdat de verdelingsfunctie ${\displaystyle F_{X))$ van een continue stochastische variabele absoluut continu is en dus (bijna overal) differentieerbaar, kan deze vastgeled worden door z'n afgeleide ${\displaystyle f_{X))$. Als deze overal gedefinieerd is, wordt de afgeleide de kansdichtheid van ${\displaystyle X}$ genoemd.

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\rm {d))((\rm {d))x))F_{X}(x)}$

De kansdichtheid geeft voor een continue stochastische variabele een goed beeld hoe de totale 'kansmassa' (in totaal 1) verdeeld is over het waardenbereik van de stochastische variabele.

Met behulp van de kansdichtheid worden kansen bepaald door:

${\displaystyle P(X\in B)=\int _{B}f_{X}(x){\rm {d))x}$

Algemeen

Een kansdichtheid ${\displaystyle f}$ heeft de karakteristieke eigenschappen:

• ${\displaystyle f(x)\geq 0}$
• ${\displaystyle f}$ is integreerbaar
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=1}$

Elke functie met deze eigenschappen wordt kansdichtheid genoemd. Een kansdichtheid ${\displaystyle f}$ bepaalt een kansverdeling ${\displaystyle P}$ door de relatie voor meetbare verzamelingen ${\displaystyle B}$

${\displaystyle P(B)=\int _{B}f(x)\,\mathrm {d} x}$

In het bijzonder geldt dus voor intervallen ${\displaystyle [a,b]}$:

${\displaystyle P([a,b])=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$

Als ${\displaystyle X}$ een continue stochastische variabele is, dan is de verdelingsfunctie ${\displaystyle F_{X))$ absoluut continu, en bestaat er een kansdichtheid ${\displaystyle f_{X))$, zodanig dat

${\displaystyle F_{X}(x)=P(X<x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(t)\,\mathrm {d} t}$

Deze kansdichtheid ${\displaystyle f_{X))$ is bijna overal gelijk aan de afgeleide ${\displaystyle F'_{X))$ van de verdelingsfunctie.

Achtergrond

Discrete stochastische variabelen, die hoogstens aftelbaar veel waarden kunnen aannemen, komen in praktische situaties veelvuldig voor. Soms is het gemakkelijker stochastische variabelen toe te laten die overaftelbaar veel waarden kunnen aannemen, bijvoorbeeld alle waarden in een interval. Het is de vraag of zulke variabelen in de praktijk kunnen voorkomen, maar als model en benadering van de werkelijkheid zijn zij zeer praktisch. Een manier om de verdeling van zulke continue stochastische variabelen vast te leggen is door middel van een functie die de verdeling van de totale kans weergeeft, dus een niet-negatieve functie met totale integraal 1, kansdichtheid genaamd.

Voorbeeld

Een willekeurig getal tussen 0 en 1 wordt voorgesteld als een stochastische ${\displaystyle X}$ die alle waarden tussen 0 en 1 aannemen kan, zonder dat bepaalde waarden voorkeur hebben. Men kan niet zeggen dat alle waarden even waarschijnlijk zijn, want dat is in een continue verdeling altijd het geval, die kans is namelijk 0. Geen voorkeur wil zeggen dat de kansdichtheid tussen 0 en 1 een constante waarde heeft en omdat er geen waarden buiten het interval (0,1) worden aangenomen is de kansdichtheid daar 0. Zo'n verdeling heet een uniforme verdeling op het interval (0,1) en heeft kansdichtheid:

${\displaystyle f_{X}(x)=1}$ voor ${\displaystyle x\in (0,1)}$ en 0 elders.

Het is belangrijk duidelijk onderscheid te maken tussen kans en kansdichtheid bij continue verdelingen. Om een kans te berekenen mbv. de kansdichtheid moet er altijd een integraal berekend worden. Zo is de kans dat ${\displaystyle X}$ een uitkomst kleiner dan 0,5 heeft:

${\displaystyle P(X<0{,}5)=\int _{0}^{0{,}5}f(x)\,{\rm {d))x=\int _{0}^{0{,}5}1\,{\rm {d))x=0{,}5}$

De kans op een bepaalde uitkomst, bijvoorbeeld 0,37, is per definitie gelijk aan nul, wat compatibel is met:

${\displaystyle P(X=0{,}37)=\int _{0{,}37}^{0{,}37}f(x)\,{\rm {d))x=0}$

Een belangrijke eigenschap van de kansdichtheid ${\displaystyle f_{X}(x)}$ van een continue stochastische variabele ${\displaystyle X}$ is:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f_{X}(x)\,{\rm {d))x=1}$

Deze eigenschap volgt uit het feit dat de kansdichtheid de afgeleide functie is van de cumulatieve kansverdeling. De hier genoemde integraal is gelijk aan ${\displaystyle P(X<+\infty )=1}$.