For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Kardinaliteit.

Kardinaliteit

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is de kardinaliteit van een verzameling de veralgemening van het "aantal elementen in een verzameling", die ook van toepassing is voor oneindige verzamelingen. Een verzameling is eindig, aftelbaar oneindig, of overaftelbaar. De kardinaliteit van een eindige verzameling is gewoon het aantal elementen. Alle aftelbaar oneindige verzamelingen hebben dezelfde kardinaliteit. Er bestaan overaftelbare verzamelingen van verschillende kardinaliteiten.

De kardinaliteit van een verzameling wordt aangeduid met , met een verticale streep aan elke kant; dit is dezelfde notatie als die voor absolute waarde. De betekenis is afhankelijk van de context. Soms wordt ook wel de notatie gebruikt.

Er zijn twee manieren om het begrip kardinaliteit te benaderen — in de ene benadering vergelijkt men verzamelingen rechtstreeks door gebruik te maken van bijecties en injecties, in de andere maakt men gebruik van kardinaalgetallen.

Twee verzamelingen hebben dezelfde kardinaliteit als ze een-op-een op elkaar kunnen worden afgebeeld, dat wil zeggen dat we aan elk element van de ene verzameling één en niet meer dan één element van de andere verzameling toevoegen, en vice versa (zie ook bijectieve functies). Deze verzamelingen worden dan gelijkmachtig of equipotent genoemd.

Vergelijken van verzamelingen

Men kan de volgende drie gevallen onderscheiden:

Twee verzamelingen en hebben dezelfde kardinaliteit als er een bijectie bestaat van naar .
De verzameling van even natuurlijke getallen heeft dezelfde kardinaliteit als de verzameling van natuurlijke getallen zelf, aangezien de functie een bijectie is van naar .
heeft een kardinaliteit die strikt groter is dan de kardinaliteit van als er een injectie van naar bestaat, maar geen bijectie.
De verzameling van alle reële getallen heeft bijvoorbeeld een kardinaliteit die strikt groter is dan de kardinaliteit van de verzameling van alle natuurlijke getallen, omdat de inclusieafbeelding injectief is, en het kan worden aangetoond dat er geen bijectieve functie van naar bestaat.
heeft een kardinaliteit groter dan of gelijk aan de kardinaliteit van als er een injectie van naar bestaat.

Kardinaalgetallen

Zie Kardinaalgetal voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De relatie dat twee verzamelingen dezelfde kardinaliteit hebben wordt gelijkmachtigheid genoemd; gelijkmachtigheid is een equivalentierelatie op de klasse van alle verzamelingen. De equivalentieklasse van een verzameling bestaat onder deze relatie uit al die verzamelingen die dezelfde kardinaliteit als hebben. Er zijn twee manieren om de "kardinaliteit van een verzameling" te definiëren:

  1. De kardinaliteit van een verzameling wordt gedefinieerd als haar equivalentieklasse onder gelijkmachtigheid.
  2. Er wordt voor elke equivalentieklasse een representatieve verzameling aangewezen.

De kardinaliteiten van de oneindige verzamelingen worden aangeduid door

Voor elke ordinaal , is het kleinste kardinaalgetal groter dan .

Eindige verzameling

De kardinaliteit van een eindige verzameling is het aantal elementen in de verzameling. Omgekeerd geldt ook, dat als de kardinaliteit van een verzameling een natuurlijk getal is, die verzameling eindig is. Twee eindige verzamelingen hebben dezelfde kardinaliteit als ze hetzelfde aantal elementen hebben.

Een verzameling met precies één element wordt een singleton of eenpuntsverzameling genoemd.

Oneindige verzameling

Een oneindige verzameling heeft altijd een hogere kardinaliteit dan een eindige (dat wil zeggen, we kunnen elk element van de eindige verzameling op één element van de oneindige verzameling afbeelden, maar omgekeerd kan dat niet). De laagste oneindige kardinaliteit is die van de natuurlijke getallen; deze kardinaliteit wordt (alef-nul) genoemd. Verzamelingen met deze kardinaliteit heten aftelbaar oneindig. Het diagonaalbewijs van Cantor toont aan dat er ook hogere kardinaliteiten bestaan; deze worden ook met een alef-getal aangegeven: .

Kardinaliteit van het continuüm

Zie Kardinaliteit van het continuüm voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een van Cantors belangrijkste resultaten was dat het kardinaliteit van het continuüm (c of ) groter is dan de kardinaliteit van de natuurlijke getallen (); dat wil zeggen dat er meer reële getallen dan natuurlijke getallen bestaan. Cantor toonde aan (zie diagonaalbewijs van Cantor) dat

De continuümhypothese stelt dat er geen kardinaalgetal bestaat tussen de kardinaliteit van de reële getallen en de kardinaliteit van de natuurlijke getallen, dat wil zeggen

(zie Beet-getal).

De continuümhypothese kan binnen de algemeen aanvaarde Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer, tenminste indien deze axiomatische verzamelingenleer consistent is, noch worden bewezen noch worden verworpen.

Informatica

In de informatica slaat kardinaliteit doorgaans op relaties tussen tabellen of associaties tussen klassen/objecten. Dan is dit het aantal keer dat een relatie/associatie voor kan/mag komen. Dit kan bijvoorbeeld zijn: 0 of meer, 1 of meer, 1, 2, 100, 1 tot 20.

Zie ook

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Kardinaliteit
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.

X

Wikiwand 2.0 is here 🎉! We've made some exciting updates - No worries, you can always revert later on