For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Maattheorie.

Maattheorie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

De maattheorie is het deelgebied van de wiskunde dat de elementaire begrippen van maat (lengte, oppervlakte en volume) veralgemeniseert, zodat ook aan ingewikkelder verzamelingen dan die van 'gewone' punten in een ruimte een maat kan worden toegekend. In de maattheorie is de Lebesgue-integratie de theoretische basis voor de kansrekening en de integraalrekening. Zo kan dankzij de maattheorie de verwachting van een stochastische variabele worden opgevat als de integraal van een meetbare functie.

Het uitgangspunt is een strenge afbakening van het studiegebied op basis van de axiomatische verzamelingenleer. In de Banach-Tarskiparadox wordt duidelijk hoe een naïeve opvatting van het begrip "maat van een verzameling" wordt afgestraft. De wiskundigen Stefan Banach en Alfred Tarski toonden aan dat uit een naïeve opvatting van het begrip "volume" (maat in de -dimensionale reële ruimte) volgt dat alle lichamen een gelijk volume hebben.

Meetbare ruimte

Een meetbare ruimte bestaat uit een willekeurige verzameling , tezamen met een σ-algebra van deelverzamelingen van . (In de Franstalige literatuur spreekt men van stam ("tribu")).

De elementen van noemt men de meetbare deelverzamelingen van . Uiteraard kan op eenzelfde drager meestal meer dan één meetbare ruimte gedefinieerd worden, dus het begrip "meetbare verzameling" hangt evenzeer af van de keuze van .

De geëiste structuur van σ-algebra voor de meetbare verzamelingen maakt het mogelijk een maat aan deze verzamelingen toe te kennen die geschikte eigenschappen heeft.

Voorbeelden

Zij een willekeurige verzameling. Uit de drie definiërende eigenschappen van een σ-algebra volgt dat elke σ-algebra minstens de lege verzameling en de verzameling zelf bevat. Het paar is ook altijd een σ-algebra op , die soms indiscrete stam heet. De indiscrete stam is de kleinst mogelijke σ-algebra op een verzameling ; elke andere σ-algebra bevat die indiscrete stam.

De machtsverzameling , d.w.z. de verzameling van alle deelverzamelingen van vormt een σ-algebra op die men soms de discrete stam noemt. De discrete stam is de grootst mogelijke σ-algebra op een verzameling in de zin dat hij elke andere σ-algebra omvat.

Zij een willekeurige collectie deelverzamelingen van De verzameling van alle σ-algebra's op die omvatten, is niet leeg, want zij bevat de discrete stam, en de doorsnede van al deze σ-algebra's is opnieuw een σ-algebra op . Deze doorsnede heet de σ-algebra voortgebracht door genoteerd

Zij een topologische ruimte. De door voortgebrachte σ-algebra heet de borelstam van .

Interpretatie in de kansrekening

In de kansrekening kan geïnterpreteerd worden als de verzameling van alle denkbare werelden. Een meetbare verzameling , deelverzameling van , is dan een 'logische uitspraak' die in sommige werelden waar, in andere onwaar is. Iets minder abstract, kan worden gezien als de uitkomstenruimte bij een kansexperiment. Een meetbare verzameling heet een gebeurtenis (meetbare deelverzameling van de uitkomstenruimte ) die zich met een bepaalde kans (de maat van ) kan voordoen, wat wil zeggen dat de uitkomst van het kansexperiment een element van is.

Meetbare functie

Een functie tussen twee dragers van meetbare ruimten heet een meetbare functie als ze de structuur van de σ-algebra's respecteert, meer bepaald als het volledig origineel van elke meetbare verzameling ook meetbaar is.

Maat

Een maat is een functie die aan elke meetbare verzameling een niet-negatief reëel getal of de waarde oneindig toekent, op een manier die als volgt de structuur van respecteert:

  1. De lege verzameling (die overigens altijd meetbaar is) heeft maat nul:
  2. Additiviteit: Voor elke twee disjuncte meetbare verzamelingen en is de maat van hun vereniging gelijk aan de som van hun maten: .
  3. σ-Additiviteit: Voor een rij paarsgewijs disjuncte meetbare verzamelingen is de maat van hun vereniging gelijk aan de som van de reeks van de afzonderlijke maten:
.
Hierbij wordt afgesproken dat een som waarvan minstens één term oneindig is, oneindig bedraagt.

Merk op dat voorwaarde 2 een speciaal geval is van voorwaarde 3.

Het drietal heet een maatruimte.

Een nulverzameling is een verzameling met maat nul. Er kunnen best nulverzamelingen bestaan die niet leeg zijn, en zelfs overaftelbaar veel elementen hebben.

De kansrekening gaat uit van een eindige maat die aan de hele verzameling de maat (kans) 1 toekent. Als een meetbare verzameling een logische uitspraak voorstelt, is de kans dat die uitspraak waar is.

Lebesgue-integraal

Voor de reële getallen, uitgerust met haar gewone topologie, is de borelstam de kleinste σ-algebra die alle intervallen bevat. De borelmaat associeert met elk interval zijn lengte.

De aldus ontstane maatruimte is onvolledig. De lebesgue-stam is de kleinste volledige uitbreiding van de borelstam. De borelmaat kan op eenduidige wijze worden uitgebreid tot de hele lebesguestam en heet dan lebesgue-maat.

Op maatruimten wordt een abstract integraalbegrip gedefinieerd voor sommige meetbare functies van de maatruimte naar de reële getallen (met de lebesguestam). In het bijzondere geval van reëelwaardige functies op de reële getallen ontstaat zo de lebesgue-integraal.

Stochastische variabele

Een stochastische variabele is een meetbare functie van een kansruimte naar de reële getallen (met de lebesguestam). Als de functie Lebesgue-integreerbaar is, noemt men haar integraal de verwachting van de stochastische variabele. Vaak wordt de eis "meetbaar" niet uitdrukkelijk vermeld - desnoods vergroot men de σ-algebra in kwestie om alle interessante stochastische variabelen meetbaar te maken.

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Maattheorie
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.