For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Orthonormale basis.

Orthonormale basis

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de lineaire algebra heet een basis van een vectorruimte met inwendig product, bestaande uit de vectoren , een orthonormale basis, als de basis een orthonormaal stelsel is. Dat houdt in dat de vectoren uit de basis onderling orthogonaal zijn en elk de lengte 1 heeft. Er geldt dus dat voor elke en :

als

Anders geformuleerd: (de Kronecker-delta).

In deze relaties is het inwendige product, dat ook wel genoteerd wordt met .


Omgekeerd geldt dat als een basis van een vectorruimte per definitie als orthonormaal wordt beschouwd, dit een inwendig product induceert waarvoor

,

namelijk het standaardinproduct

met en de coördinaten ten opzichte van de basis.

Voorbeelden

De vectoren {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} vormen een orthonormale basis van de 3D-ruimte
De vectoren {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} vormen een orthonormale basis van de 3D-ruimte
  • is een orthonormale basis van de vectorruimte . Dit gaat uit van het standaardinproduct als inwendig product, of geldt per definitie, waaruit als inwendig product het standaardinproduct volgt. Heel algemeen is de standaardbasis van de vectorruimte orthonormaal.
  • Ook het stelsel is een orthonormale basis van de vectorruimte .
  • Het stelsel functies , met vormt een orthonormale basis van de vectorruimte van de periodieke functies met periode en als inwendig product:
Deze eigenschap wordt gebruikt bij de fourieranalyse.

Eigenschappen

De Gram-Schmidtmethode geeft een directe methode om een willekeurige basis om te vormen tot een orthonormale basis.

De kolommen (en rijen) van een -dimensionale, orthogonale transformatie vormen een orthonormale basis van vectoren voor .

Toepassing

Elke vector van een vectorruimte met basis heeft unieke coördinaten ten opzichte van die basis. Indien de basis daarenboven orthonormaal is, kunnen die coördinaten afzonderlijk berekend worden door middel van het geldende inproduct. Men kan aantonen dat de -de coördinaat van een vector ten opzichte van de orthonormale basis gelijk is aan het inproduct van met de -de basisvector:

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Orthonormale basis
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.