p-adisch getal
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedia
In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, vormen de -adische getallen voor elk priemgetal een uitbreiding van de rationale getallen geheel anders van aard dan de bekende uitbreidingen naar de reële- en de complexe getallen. In een -adische uitbreiding zijn de nieuwe elementen de equivalentieklassen van fundamentaalrijen in de -adische norm. De -adische getallen werden voor het eerst beschreven door Kurt Hensel in 1897. Zij spelen een belangrijke rol in de getaltheorie.
Deze uitbreiding is gebaseerd op een gegeneraliseerde absolute waarde. De introductie van -adische getallen werd vooral ingegeven door een poging om de ideeën en technieken van machtreeksen ook in de getaltheorie in te voeren. De invloed van -adische getallen strekt zich nu echter veel verder uit. Het onderzoeksgebied van -adische analyse biedt voor -adische talstelsels bijvoorbeeld een alternatieve vorm van wiskundige analyse.
Hoe ziet een -adisch getal eruit? Om een vergelijking met gewone decimale getallen te kunnen maken, is in deze inleiding gekozen. Weliswaar is dit geen priemgetal, maar voor een deel van de aspecten van dit getalsysteem is dat niet nodig.
De gewone uitbreiding van de rationale getallen naar de reële getallen geeft in de decimale voorstelling getallen met een eindig aantal cijfers vóór de komma en een oneindig aantal decimalen na de komma (alle cijferreeksen, niet alleen die met uiteindelijk een repeterend deel). Door steeds meer decimalen op te schrijven wordt de benadering steeds nauwkeuriger. In de "10-adische" uitbreiding komen getallen voor met slechts een eindig aantal decimalen na de komma, maar een oneindig aantal cijfers vóór de komma. Door in een 10-adisch getal steeds meer cijfers vóór de komma te schrijven wordt de 10-adische afstand tussen het getal met een oneindig aantal decimalen vóór de komma en het getal dat bestaat uit eindig veel van de decimalen vóór de komma, steeds kleiner met het links toevoegen van cijfers, doordat het verschil een veelvoud van een steeds grotere macht van 10 is. Zo is de 10-adische afstand tussen het "getal" en , omdat de limiet is van een rij getallen die allemaal een veelvoud van 1000 verschillen van .
Met nog een cijfer erbij heeft het "getal" een 10-adische afstand van tot omdat de limiet is van een rij getallen die allemaal een veelvoud van 10000 verschillen van .
Een bijzonderheid is dat in een -adisch systeem geen minteken nodig is om negatieve getallen te noteren. Het getal bijvoorbeeld stelt het getal voor, immers: .