For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Producttopologie.

Producttopologie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de topologie, een tak van de wiskunde, is de producttopologie een topologische structuur op het cartesisch product van topologische ruimten.

Eenvoudig geval

Laat en twee topologische ruimten zijn. De producttopologie van het cartesisch product is de topologie voortgebracht door producten van open delen van en van . Dat wil zeggen

is een subbasis voor de producttopologie, d.w.z. brengt de producttopologie voort.

Definitie

Voor het cartesische product

van de verzamelingen uit de familie topologische ruimten

is de producttopologie de kleinste topologie die alle projectie-afbeeldingen

continu maakt. Het is dus de initiale topologie van de projecties.

Voorbeelden

De producttopologie op van keer de gewone topologie op is dezelfde als de topologie van de Euclidische afstandsfunctie op .

De verzameling van alle reële afbeeldingen kan worden opgevat als het oneindig Cartesisch product . De producttopologie is de topologie van puntsgewijze convergentie, dat wil zeggen dat een rij reële functies in deze topologie convergeert dan en slechts dan als hun waarden in ieder punt afzonderlijk convergeren, en de functiewaarde van de limietfunctie is de limiet van de functiewaarden:

Product van compacte ruimten

De stelling van Tychonov luidt dat elk product van compacte topologische ruimten compact is. Voor een product van een eindig aantal ruimten is dit elementair, maar de stelling blijft geldig voor oneindige producten. Het bewijs hangt cruciaal af van het keuzeaxioma en de stelling is er zelfs mee gelijkwaardig.

Voorbeeld

De ruimte van alle afbeeldingen van het gesloten interval naar zichzelf, met de topologie der puntsgewijze convergentie, is compact.

Toepassing

De Stone-Čech-compactificatie is een constructie die willekeurige T3.5-ruimten uitbreidt tot compacte ruimten door ze in te bedden in een meervoudig Cartesisch product van het gesloten interval [0,1] met zichzelf.

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Producttopologie
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.

X

Wikiwand 2.0 is here 🎉! We've made some exciting updates - No worries, you can always revert later on