For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Reed-Muller-code.

Reed-Muller-code

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Een Reed-Muller-code is een lineaire foutcorrigerende code, die gebruikt wordt bij draadloze communicatie, in het bijzonder in communicatie in de ruimte.[1] Bovendien steunt 5G op de nauw verwante polaire codes.[2]

Reed-Mullercodes zijn een generalisatie van Reed-Solomoncodes en Walsh-Hadamardcodes. Traditioneel gebruikt met Reed-Mullercodes als binaire codes, wat betekent dat de boodschappen en codewoorden binaire tekenreeksen zijn. De codes zijn vernoemd naar David E. Muller, een Amerikaanse wiskundige en computerwetenschapper, die de codes in 1954 ontdekte[3] en naar Irving S. Reed, een Amerikaanse wiskundige, die het eerste efficiënte decodeeralgoritme voor de codes voorstelde.[4]

Constructie

Er bestaan verschillende equivalente manieren om Reed-Mullercodes te beschrijven. Hier wordt gebruik gemaakt van de methode met generatormatrix. Een andere manier is via veeltermen. De generator-matrix van een Reed-Muller-code met lengte wordt opgebouwd als volgt. Beschouw eerst de vectorruimte met dimensie d over het eindig lichaam . Deze vectorruimte bevat elementen.

We definiëren nu in de n-dimensionale ruimte over de 'indicator-vectoren':

op deelverzamelingen door:

en we definiëren in de volgende binaire bewerking 'puntproduct':


is een -dimensionale vectorruimte over , en is dus te schrijven als



We definiëren nu de volgende vectoren ter lengte en

waarbij hypervlakken in zijn (van dimensie ):

De Reed-Muller RM(d,r)-code van de orde en lengte is de lineaire code die wordt gegenereerd door en de puntproducten tot en met van de vectoren .

Voorbeeld 1

Zij . Dan is derhalve en

,

en

De RM(3,1)-code wordt gegenereerd door de verzameling

of, meer expliciet geformuleerd, door de rijen van de matrix:

De dimensie van de code is 4, dus de code bestaat uit 16 codewoorden.

Voorbeeld 2

De RM(3,2)-code wordt gegenereerd door de verzameling

ofwel door de volgende matrix:

Eigenschappen

Volgende eigenschappen gelden voor Reed-Mullercodes:

  1. De verzameling van alle mogelijke puntproducten tot en met van de vectoren vormt een basis van .
  2. De RM(d,r)-code heeft dimensie .
  3. Er geldt RM(d,r) = RM(d-1,r) | RM(d-1,r-1) waarbij '|' voor twee lineaire codes is gedefinieerd als .
  4. RM(d,r) heeft minimale Hammingafstand .
{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Reed-Muller-code
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.

X

Wikiwand 2.0 is here 🎉! We've made some exciting updates - No worries, you can always revert later on