Stelling van Heine-Borel
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedia
In de wiskundige analyse, maar ook in de topologie van de metrische ruimten geeft de stelling van Heine-Borel, genoemd naar Eduard Heine en Émile Borel, een verband aan tussen compacte verzamelingen en de eigenschap van bepaalde verzamelingen om gesloten en begrensd te zijn
Voor een deelverzameling van de Euclidische ruimte zijn de onderstaande twee uitspraken equivalent:
- is gesloten en begrensd
- elke open dekking van heeft een eindige deeloverdekking, dat wil zeggen dat compact is.
In de context van de reële analyse, wordt de eerste eigenschap soms gebruikt als een definiërende eigenschap van compactheid. De twee definities houden echter op equivalent te zijn als we deelverzamelingen van meer algemene metrische ruimten beschouwen in het meer algemene geval wordt alleen de laatste eigenschap gebruikt om compactheid te definiëren. In feite luidt de stelling van Heine-Borel voor willekeurige metrische ruimten als volgt:
- Een deelverzameling van de metrische ruimte is dan en slechts dan compact als deze deelverzameling compleet en totaal begrensd is.