Vectoroptelling en scalaire vermenigvuldiging, hier geïllustreerd voor een zeer eenvoudige vectorruimte, het platte (euclidische) vlak: een vector ${\displaystyle v}$ (blauw) wordt opgeteld bij een andere vector ${\displaystyle w}$ (rood, bovenste afbeelding). In de onderste afbeelding wordt ${\displaystyle w}$ met een factor 2 uitgerekt, wat de som ${\displaystyle v+2w}$ oplevert.

Een vectorruimte, ook lineaire ruimte genoemd, is een wiskundige structuur die wordt gevormd door een verzameling elementen die vectoren worden genoemd, die bij elkaar kunnen worden opgeteld en die kunnen worden vermenigvuldigd met getallen die in deze context scalairen worden genoemd. Vaak zijn de scalairen reële getallen, maar men kan ook vectorruimten beschouwen waarin de scalairen complexe getallen, rationale getallen of heel algemeen elementen van een willekeurig veld (Vlaams) of lichaam (Nederlands) zijn. De operaties van vectoroptelling en scalaire vermenigvuldiging moeten aan bepaalde eisen voldoen, de zogenaamde axioma's (zie onder voor een lijst).

De euclidische vectorruimte is voor elke dimensie een voorbeeld van een vectorruimte. De twee- en driedimensionale euclidische vectorruimte worden vaak gebruikt om natuurkundige grootheden, zoals krachten weer te geven: elke twee krachten (van hetzelfde type) kunnen worden opgeteld met als resultaat een derde kracht, de resultante, en de scalaire vermenigvuldiging van een krachtvector met een reële factor is opnieuw een krachtvector. Als meer meetkundig voorbeeld, vormen vectoren die translaties in het vlak of in de driedimensionale ruimte weergeven, ook vectorruimten.

Vectorruimten vormen een belangrijk onderwerp van studie binnen de lineaire algebra. De theorie wordt verder verrijkt door aan een vectorruimte extra structuur, zoals een norm of een inwendig product, toe te kennen. Zulke vectorruimten komen van nature voor in de wiskundige analyse, vooral in de gedaante van oneindig-dimensionale functieruimten waarvan de vectoren functies zijn. Een belangrijke vraag is of een rij vectoren naar een bepaalde vector convergeert. Het antwoord op deze vraag kan worden gegeven door vectorruimten met aanvullende gegevens te bestuderen, meestal vectorruimten die zijn uitgerust met een gepaste topologie, die het mogelijk maakt om begrippen als nabijheid en continuïteit in beschouwing te nemen. Dit soort verrijkte topologische vectorruimten, met name banachruimten en hilbertruimten, hebben een rijkere theorie.

Historisch gesproken kunnen de eerste ideeën die hebben geleid tot vectorruimten, teruggevoerd worden tot de 17e-eeuwse analytische meetkunde, matrices, stelsels lineaire vergelijkingen en euclidische vectoren. De moderne, meer abstracte behandeling werd in de late 19e eeuw voor het eerst door Giuseppe Peano geformuleerd en omvat meer algemene objecten dan de euclidische ruimte. Veel van de theorie kan worden gezien als een uitbreiding van de klassieke meetkundige ideeën, zoals lijnen, vlakken en hun hogerdimensionale generalisaties.

Vectorruimten vindt men in de gehele wiskunde, de natuurwetenschappen en de techniek. Zij vormen het geschikte algebraïsche begrip om met stelsels lineaire vergelijkingen om te gaan. Ook bieden zij een raamwerk voor de fourierreeksen, die worden gebruikt in algoritmen voor beeldcompressie, en bieden zij een omgeving die kan worden gebruikt voor oplossingstechnieken voor partiële differentiaalvergelijkingen. Bovendien leveren vectorruimten een abstracte, coördinaatvrije manier van omgaan met meetkundige en natuurkundige objecten, zoals tensoren, die op hun beurt het onderzoek van de lokale eigenschappen van variëteiten door linearisatietechnieken mogelijk maken. Het begrip vectorruimte kan ook in verschillende richtingen worden gegeneraliseerd, wat leidt tot geavanceerde begrippen in de meetkunde en de abstracte algebra.

Definitie

Een vectorruimte over een lichaam (Ned) / veld (Be) ${\displaystyle K}$ is een verzameling van elementen, aangeduid als vectoren, waarop twee bewerkingen zijn gedefinieerd: een optelling van twee vectoren, genoteerd met "${\displaystyle +}$", en een scalaire vermenigvuldiging van een element uit ${\displaystyle K}$ (een scalair) met een vector, genoteerd met "${\displaystyle *}$" of "${\displaystyle \cdot }$" (vaak wordt de operator ook weggelaten). Deze bewerkingen moeten voldoen aan de volgende voorwaarden:

Voor elke drie (al dan niet verschillende) vectoren ${\displaystyle u,v,w\in V}$ en elke twee scalairen ${\displaystyle \alpha ,\beta \in K}$ geldt:

1. ${\displaystyle v+w}$ is weer een vector in ${\displaystyle V}$,
   ${\displaystyle V}$ is gesloten onder de optelling van vectoren
2. ${\displaystyle u+(v+w)=(u+v)+w}$
   De optelling van vectoren is associatief.
3. Er bestaat een element ${\displaystyle \mathbf {0} \in V}$, zo dat voor alle vectoren ${\displaystyle v\in V}$ geldt: ${\displaystyle \mathbf {0} +v=v=v+\mathbf {0} .}$
   Het element ${\displaystyle \mathbf {0} }$ wordt het neutrale element of de nulvector genoemd (men kan aantonen dat het neutrale element uniek is). Aangezien het zelden tot verwarring aanleiding geeft, schrijft men ook eenvoudigweg 0 in plaats van ${\displaystyle \mathbf {0} .}$
4. Voor alle vectoren ${\displaystyle v}$ bestaat er een vector ${\displaystyle -v}$ zo dat ${\displaystyle v+(-v)=\mathbf {0} }$
   De vector ${\displaystyle -v}$ noemt men het inverse element of de tegengestelde vector van ${\displaystyle v}$.
5. ${\displaystyle v+w=w+v}$
   De optelling van vectoren is commutatief.
6. ${\displaystyle \alpha *v}$ is weer een vector uit ${\displaystyle V}$
   ${\displaystyle V}$ is gesloten onder de scalaire vermenigvuldiging.
7. ${\displaystyle \alpha *(\beta *v)=(\alpha \beta )*v}$
   De scalaire vermenigvuldiging is gemengd associatief.
8. Als 1 het eenheidselement is van ${\displaystyle K}$, geldt ${\displaystyle 1*v=v}$.
   Het eenheidselement uit ${\displaystyle K}$ is het neutrale element voor de scalaire vermenigvuldiging.
9. ${\displaystyle \alpha *(v+w)=\alpha *v+\alpha *w}$
   De scalaire vermenigvuldiging is distributief over de optelling van vectoren.
10. ${\displaystyle (\alpha +\beta )*v=\alpha *v+\beta *v}$
    De scalaire vermenigvuldiging is distributief over de optelling van scalairen. Merk op dat met "${\displaystyle \alpha +\beta }$" de optelling van twee scalairen in ${\displaystyle K}$ wordt bedoeld. Dit is niet dezelfde optelling als de optelling van vectoren in ${\displaystyle V}$.

De eigenschappen 1 t/m 5 zijn equivalent met de eigenschap dat ${\displaystyle V}$ een abelse of commutatieve groep is onder de optelling. Door ${\displaystyle K}$ te vervangen door een willekeurige ring ${\displaystyle R}$, vormen de voorwaarden de definitie van een ${\displaystyle R}$-moduul; een vectorruimte is dus eigenlijk een speciaal soort moduul.

Uit de definitie volgt onder meer:

• ${\displaystyle \alpha v=\mathbf {0} }$ als en slechts als ${\displaystyle \alpha =0}$ of ${\displaystyle v=\mathbf {0} }$
• ${\displaystyle (-1)v=-v}$

Een vectorruimte waarop een norm gedefinieerd is, heet een genormeerde vectorruimte.

Reële en complexe vectorruimte

Veelgebruikte vectorruimten zijn die waarin ${\displaystyle K}$ de reële getallen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ of de complexe getallen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ is. De vectorruimte ${\displaystyle V}$ heet dan een reële respectievelijk een complexe vectorruimte. "Complex" slaat dus op ${\displaystyle K}$, niet op ${\displaystyle V}$: de vectorruimte ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n))$ met reële scalairen is een (weliswaar vrij ongebruikelijke) reële vectorruimte, isomorf met ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n))$. Het omgekeerde, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n))$ met complexe scalairen, is met de gebruikelijke definitie van de scalaire vermenigvuldiging niet mogelijk.

Voortbrengend deel, vrij deel, basis en dimensie

Men zegt dat een verzameling vectoren ${\displaystyle A}$ een voortbrengend deel van een vectorruimte ${\displaystyle V}$ is, als ${\displaystyle V}$ de kleinste vectorruimte is die ${\displaystyle A}$ bevat. Dit houdt niet alleen in dat ${\displaystyle V}$ alle lineaire combinaties van vectoren uit ${\displaystyle A}$ bevat, maar ook dat alle vectoren in ${\displaystyle V}$ lineaire combinaties zijn van vectoren uit ${\displaystyle A}$.

Het stelsel vectoren ${\displaystyle B=\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\))$ heet een vrij deel als de vectoren uit ${\displaystyle B}$ lineair onafhankelijk zijn, dus als:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}b_{i}=0\Rightarrow \forall i:\alpha _{i}=0}$

Dit wil zeggen dat de enige lineaire combinatie van vectoren in ${\displaystyle B}$ die nul oplevert, de combinatie is met alle coëfficiënten nul. Het gevolg is dat verschillende lineaire combinaties van vectoren in ${\displaystyle B}$ ook verschillende vectoren voorstellen.

Een basis van ${\displaystyle V}$ is een deelverzameling die zowel een voortbrenger van ${\displaystyle V}$ is als een vrij deel in ${\displaystyle V}$. Men kan (onder aanname van het keuzeaxioma) aantonen dat elke vectorruimte een basis heeft. Intuïtief beschouwd is een basis een zo klein mogelijke verzameling van vectoren waarmee de hele vectorruimte opgebouwd kan worden (door scalaire vermenigvuldigingen en vectorsommen). In een gegeven vectorruimte ${\displaystyle V}$ kan een basis op verschillende manieren gekozen worden, maar het aantal vectoren (kardinaliteit) in een basis van ${\displaystyle V}$ is altijd gelijk.

Het aantal vectoren van de basis wordt de dimensie van de vectorruimte genoemd. Intuïtief beschouwd is de dimensie van een vectorruimte het aantal onderling onafhankelijke richtingen in de vectorruimte.

Als het lichaam ${\displaystyle K}$ eindig is, geldt:

• bij een eindige basis is ${\displaystyle V}$ eindig;
• bij een aftelbaar oneindige basis is ${\displaystyle V}$ aftelbaar oneindig.

Deelruimte

Zie Lineaire deelruimte voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een deelruimte (ook lineaire deelruimte genoemd) is een deelverzameling van een vectorruimte die zelf ook weer een vectorruimte over hetzelfde lichaam is. Elke vectorruimte bevat twee triviale deelruimtes: zichzelf en ook de kleinst mogelijke deelruimte, die alleen uit de nulvector bestaat.

Geschiedenis

Het begrip vectorruimte vloeit conceptueel voort uit de affiene meetkunde, via de introductie van coördinaten in het platte vlak of in de gebruikelijke driedimensionale ruimte. Rond 1636 legden de Franse wiskundigen Descartes en Fermat de basis voor de analytische meetkunde door de oplossingen van een vergelijking met twee variabelen te koppelen aan de bepaling van een tweedimensionale kromme.

Om tot een meetkundige oplossing te komen zonder gebruik te maken van coördinaten, introduceerde Bernard Bolzano in 1804 bepaalde operaties op punten, lijnen en vlakken die als voorlopers van vectoren kunnen worden gezien.^[1] Dit werk werd beschouwd in het concept van de barycentrische coördinaten van August Ferdinand Möbius in 1827.^[2] De beslissende stap in de definitie van vectoren was Bellavitis' definitie van het bipunt: een richtinggevend segment waarvan een van de uiteinden de oorsprong is en de ander het doel.

Vectorruimten werden in een nieuw licht geplaatst door de introductie van het complexe vlak door Jean-Robert Argand en William Rowan Hamilton en de introductie van quaternionen en biquaternionen door de laatstgenoemde; het betreft elementen van respectievelijk ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2))$, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$ en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8))$. De opvatting als lineaire combinatie gaat terug tot Laguerre in 1867, die in dat jaar stelsels lineaire vergelijkingen definieerde.

In 1857 introduceerde Cayley zijn matrixnotatie, die het mogelijk maakte de notatie van lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten te harmoniseren en te vereenvoudigen.

Tegelijkertijd bestudeerde Grassmann de barycentrische calculus die was geïnitieerd door Möbius, die verzamelingen van abstracte objecten, uitgerust met operaties, beschouwde^[3] Zijn werk overstijgt het raamwerk van de vectorruimten, aangezien zijn invoering van vermenigvuldiging hem naar het concept van algebra's leidde. Toch zijn de begrippen dimensie en lineaire onafhankelijkheid aanwezig, evenals het scalair (inwendig) product (1844). Het primaat van deze ontdekkingen werd door Cauchy betwist in diens publicatie Sur les clefs algébriques.

De Italiaanse wiskundige Peano, een van wiens belangrijke bijdragen de strenge axiomatisering van bestaande concepten is geweest, met name de constructie van verzamelingen, was een van de eersten die rond het einde van de 19de eeuw met de moderne definitie van vectorruimten werkten.^[4]

Een belangrijke ontwikkeling van dit concept is te danken aan de constructie van functieruimten door Henri Lebesgue. Dit werd later geformaliseerd door David Hilbert en Stefan Banach (in diens proefschrift uit 1920).

Op dit moment begonnen de algebra en het nieuwe terrein van de functionaalanalyse op elkaar in te werken, met name met belangrijkste concepten zoals ruimten van ${\displaystyle p}$-integreerbare functies en hilbertruimten. Ook werden in die tijd de eerste studies naar oneindig-dimensionale vectorruimten uitgevoerd.

Voorbeelden

Coördinaten- en functieruimten

Een voorbeeld van een vectorruimte over een lichaam/veld ${\displaystyle K}$ is de coördinatenruimte ${\displaystyle K^{n))$, waarvan de elementen ${\displaystyle n}$-tupels zijn, rijen ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$ van lengte ${\displaystyle n}$ van elementen ${\displaystyle a_{i}\in K}$.^[5] Bij een gegeven ${\displaystyle n}$-dimensionale vectorruimte over ${\displaystyle K}$ correspondeert met iedere basis een isomorfisme met ${\displaystyle K^{n))$. Zowel de kolomvectoren als de rijvectoren van de betreffende lengte vormen ook zo'n isomorfe vectorruimte.

Meer in het algemeen vormen functies van elke vaste verzameling ${\displaystyle \Omega }$ naar een lichaam/veld ${\displaystyle K}$ (het product van een geïndexeerde familie van gelijke vectorruimten ${\displaystyle K}$, met indexverzameling ${\displaystyle \Omega }$) ook vectorruimten, door de optelling en de scalaire vermenigvuldiging puntsgewijze uit te voeren. Dat wil zeggen dat de som van twee functies ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle g}$ wordt gegeven door

${\displaystyle (f+g)(w)=f(w)+g(w)}$

en de scalaire vermenigvuldiging door:

${\displaystyle (af)(w)=a(f(w))}$.

Met ${\displaystyle K^{\Omega ))$ wordt de verzameling bedoeld van alle functies ${\displaystyle \Omega \to K}$ (zie functieruimte). Daarmee komt het cartesisch product ${\displaystyle K^{n))$ overeen met ${\displaystyle K^{\{1,2,\ldots ,n\)).}$ Als ${\displaystyle \Omega }$ een oneindige verzameling is, is ${\displaystyle K^{\Omega ))$ een oneindigdimensionale vectorruimte. De ruimte ${\displaystyle K^{\mathbb {N} ))$, ook ${\displaystyle K^{\infty ))$ genoemd, is de ruimte van alle oneindige rijen van elementen in ${\displaystyle K}$. De verzameling ${\displaystyle \Omega }$ kan ook overaftelbaar zijn, bijvoorbeeld het interval ${\displaystyle [0,1],}$ zodat ${\displaystyle K^{[0,1]))$ de ruimte is van alle functies op dit interval. Bij oneindige ${\displaystyle \Omega }$ wordt in veel gevallen slechts een deelruimte beschouwd, bijvoorbeeld rijen of functies met eindige drager, of de genormeerde vectorruimten ${\displaystyle L^{p))$. De verzameling functies en de norm worden in samenhang met elkaar gekozen, zodat de norm nooit oneindig wordt.

Zulke functieruimten komen in vele meetkundige situaties voor, bijvoorbeeld als ${\displaystyle \Omega }$ de reële lijn, een interval, of andere deelverzamelingen van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n))$ voorstelt. Veel begrippen uit de topologie en de analyse, zoals continuïteit, integreerbaarheid of differentieerbaarheid gedragen zich goed met betrekking tot de lineariteit: optellingen en scalaire veelvoud van functies, die een dergelijk eigenschap bezitten, beschikken na optelling en scalaire vermenigvuldiging nog steeds over deze eigenschap.^[6] Daarom zijn dergelijke verzamelingen van functies vectorruimten. Zij worden meer in detail bestudeerd door gebruik te maken van de methoden uit de functionaalanalyse. Algebraïsche beperkingen leveren ook vectorruimten op: de veeltermring ${\displaystyle K[x]}$ (zowel een vectorruimte als een ring) wordt gegeven door de verzameling van alle polynomen, dus van willekeurige graad ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n))$, met de coëfficiënten ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in K}$.^[7]

Lineaire vergelijkingen

Zie Lineaire vergelijking en Stelsel van lineaire vergelijkingen voor de hoofdartikelen over dit onderwerp.

Stelsels lineaire vergelijkingen die homogeen zijn, zijn nauw verbonden aan vectorruimten.^[8] De oplossingen van

${\displaystyle \ \ a+3b+\ \ c=0}$

${\displaystyle 4a+2b+2c=0}$

worden bijvoorbeeld gegeven door drietallen ${\displaystyle (a,b,c)}$ met ${\displaystyle b=a/2}$ en ${\displaystyle c=-5a/2}$. Deze drietallen vormen een vectorruimte: optellingen en scalaire veelvouden voldoen steeds aan dezelfde verhoudingen van de drie variabelen, dus zijn zij oplossingen voor het stelsel van vergelijkingen. Om lineaire vergelijkingen, zoals hierboven, compacter op te schrijven, kan men gebruikmaken van matrices, bijvoorbeeld

${\displaystyle Ax=0}$

waarin

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&1\\4&2&2\end{bmatrix))}$

de matrix is die de coëfficiënten van de gegeven vergelijkingen bevat, de kolomvector ${\displaystyle x={\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix))}$ de onbekenden bevat, ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix))}$ de nulvector is, en ${\displaystyle Ax}$ de vermenigvuldiging van een matrix met een kolomvector is.

Ook de oplossingen van een homogene lineaire differentiaalvergelijking vormen een vectorruimte. De vergelijking

${\displaystyle f''+2f'+f=0}$

bijvoorbeeld heeft als oplossingen de functies

${\displaystyle f(x)=ae^{-x}+bxe^{-x))$,

waarin ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ willekeurige constanten zijn.

Lichaams/velduitbreidingen

Lichaams/velduitbreidingen ${\displaystyle K/E}$ ("${\displaystyle K}$ over ${\displaystyle E}$") vormen een andere klasse van vectorruimten, met name in de algebra en de algebraïsche getaltheorie: een lichaam/veld ${\displaystyle K}$ dat een uitbreiding is van ${\displaystyle E}$ wordt onder de gegeven vermenigvuldiging en optellingsoperaties van ${\displaystyle K}$ een ${\displaystyle E}$-vectorruimte.^[9] De complexe getallen zijn bijvoorbeeld een vectorruimte over ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Een bijzonder interessant type velduitbreiding in de getaltheorie is ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$, de uitbreiding van de rationale getallen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ met een gegeven complex getal ${\displaystyle \alpha }$. ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$ is het kleinste lichaam/veld dat de rationale en een gegeven complex getal ${\displaystyle \alpha }$ bevat. De dimensie als een vectorruimte over ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ is afhankelijk van de keuze van ${\displaystyle \alpha }$.

Uitbreidingen

Een moduul is een algebraïsche structuur die erg lijkt op een vectorruimte. Een moduul is echter gedefinieerd over een ring, in plaats van over een lichaam/veld. Bij een moduul eist men dus niet dat ${\displaystyle K}$ een lichaam/veld is, maar wel dat ${\displaystyle K}$ een ring is. Elke vectorruimte is dus een moduul en alle eigenschappen van modulen gelden ook voor vectorruimten.

Voetnoten