For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Volledig (maattheorie).

Volledig (maattheorie)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de maattheorie, een tak van de wiskunde, noemt men een maatruimte volledig als alle deelverzamelingen van nulverzamelingen meetbaar zijn.

Expliciete definitie

Zijn een meetbare ruimte. Een maat op heet volledig als

In dergelijke gevallen is vanzelf ook een nulverzameling.

Volledigheid hangt zowel van de sigma-algebra als van de maat af.

Voorbeeld

Elementaire voorbeelden van volledige maten zijn eenvoudig genoeg te construeren, bijvoorbeeld eender welke maat op de discrete stam (neem eindig voor een gemakkelijke constructie van ).

Een interessant voorbeeld van een onvolledige maat is de Borelmaat op de Borelstam van de reële getallen. Het bewijs hiervan is niet triviaal, maar kan bijvoorbeeld als volgt verlopen:

  1. De Cantorverzameling is een overaftelbare nulverzameling voor de Borelmaat
  2. De Borelstam heeft de kardinaliteit van de reële getallen
  3. Uit de continuümhypothese volgt dat de Cantorverzameling strikt meer deelverzamelingen heeft dan de Borelstam leden, er bestaan dus deelverzamelingen van de Cantorverzameling die niet Borelmeetbaar zijn.

Vervollediging

De volgende constructie associeert met elke (niet noodzakelijk volledige) maatruimte een uitbreiding die gegarandeerd volledig is.

Definieer als de sigma-algebra voortgebracht door en alle deelverzamelingen van nulverzamelingen.

Definieer op als volgt:

Dan blijkt een maat te zijn, en de twee maten vallen duidelijk samen op . In het bijzonder is de vervollediging van een kansmaat opnieuw een kansmaat.

De Lebesguestam en de Lebesgue-maat zijn de vervollediging van de Borelmaat op de reële getallen, of bij uitbreiding op .

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Volledig (maattheorie)
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.