Wet van Gauss - Wikiwand
For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Wet van Gauss.

Wet van Gauss

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Elektromagnetisme
elektriciteit · magnetisme
Wetenschappers

De wet van Gauss geeft in de fysica de relatie weer tussen de elektrische flux door een gesloten oppervlak en de elektrische lading binnen het oppervlak. Dit is een toepassing van de divergentiestelling van Gauss uit de analyse.

Integraalvorm

In zijn integraalvorm zegt de formule:

Daarbij is het elektrische veld, de oppervlakte van een infinitesimaal gebiedje op het gesloten oppervlak met een naar buiten gerichte normaalvector die zijn richting bepaalt, is de netto lading die omsloten wordt door het integratie-oppervlak, is de permittiviteit in vacuüm en de integraal over het oppervlak om het volume .

Hierbij maakt het niet uit waar de lading zich binnen het oppervlak bevindt, of hoe de lading binnen het oppervlak is verdeeld.

Differentiaalvorm

In differentiaalvorm wordt de vergelijking:

waarin de divergentie van het elektrische veld is en de ladingsdichtheid.

Diëlektricum

In een diëlektricum kan de wet van Gauss voor de elektrische verplaatsing toegepast worden:

Daarin is de vrije elektrische ladingsdichtheid exclusief de dipolen die in het materiaal liggen.

Als wordt uitgedrukt in C/m2, is de eenheid van C/m3.

Voor een lineair materiaal wordt de vergelijking:

,

waarin de van onafhankelijke elektrische permittiviteit is.

Is ook onafhankelijk van de plaats, dan kan dit worden herschreven als:

.

Poissonvergelijking

Een elektrisch veld is rotatievrij en bezit daarom een potentiaal . Er geldt:

Past men de differentiaalvorm toe, dan ontstaat de poissonvergelijking voor de potentiaal.

of:

waarin de laplace-operator is.

Wet van Coulomb

In het speciale geval van een boloppervlak met een centrale lading, staat het elektrisch veld loodrecht op het oppervlak, met dezelfde grootte in alle punten, wat in vacuüm deze eenvoudiger uitdrukking levert:

met de elektrische veldsterkte op straalafstand buiten de bol tot het middelpunt van de bol is, de ingesloten lading en de permittiviteit van het vacuüm. Er geldt

F/m.[1]

De bekende omgekeerde afhankelijkheid van het elektrisch veld van het kwadraat van de afstand, in de wet van Coulomb, volgt dus uit de wet van Gauss.

De stelling van Gauss kan gebruikt worden om aan te tonen dat er geen elektrisch veld is binnen een Kooi van Faraday zonder elektrische ladingen. De wet van Gauss is het elektrostatisch equivalent van de wet van Ampère, die magnetisme behandelt. Beide vergelijkingen werden later geïntegreerd in de wetten van Maxwell.

De stelling werd geformuleerd door Carl Friedrich Gauss in 1835, maar werd pas na zijn dood in 1867 gepubliceerd.

Zwaartekracht en magnetisch veld

Door wiskundige gelijkenis, heeft de wet soms een toepassing voor andere fysische grootheden die omgekeerd evenredig zijn met een kwadraat, zoals zwaartekracht, magnetisch veld of de intensiteit van straling (zie omgekeerde kwadratenwet). Zie ook divergentiestelling. Deze varianten van de wet van Gauss wijken enigszins af: het zwaartekrachtsveld kent geen negatieve massa en het magnetische veld ontbeert monopolen, zodat div B = 0 in plaats van de dichtheid rho.

Divergentiestelling van Gauss

De wetten van Gauss voor het elektrisch en magnetisch veld zijn speciale gevallen van de algemeen geldende wiskundige stelling:

die zegt dat de divergentie van een vectorveld geïntegreerd over een volume gelijk is aan de flux geïntegreerd over de rand van dat volume.

Hieruit volgt vrij eenvoudig dat

en

Zie ook

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Wet van Gauss
Listen to this article