Fourierrekkje
From Wikipedia, the free encyclopedia
Ei fourierrekkje er i matematikk ei dekomponering av ein periodisk funksjon eller eit periodisk signal til ein sum av enkle svingande funksjonar, nemleg sinus- og cosinusbølgjer (eller komplekse eksponential). Studiet av fourierrekkjer er ei grein innan fourieranalyse. Fourierrekkjer vart innført av Joseph Fourier (1768–1830) for å kunne løyse varmelikninga på ei metallplate.
Varmelikninga er ei partiell differensiallikning. Før Fourier arbeidde med dette fanst det inga kjend løysing på varmelikninga i ein generell situasjon, sjølv om nokre løysingar var kjend når varmekjelda oppførte seg på ein enkel måte, særleg om varmekjelda var ei sinus- eller cosinusbølgje. Desse enkle løysingane vert i dag stundom kalla eigenløysingar. Ideen til Fourier var å modellere ei komplisert varmekjelde som ei superposisjonering (eller ein lineær kombinasjon) av enkle sinus- og cosinusbølgjer, og så skrive løysinga som ei superposisjonering av dei tilhøyrande eigenløysingane. Denne superposisjoneringa eller lineære kombinasjonen vert kalla fourierrekkjer.
Frå eit moderne synspunkt er resultata til Fourier noko uformelle og manglar ein presis notasjon av funksjon og integral tidleg på 1800-talet. Seinare uttrykte Dirichlet og Riemann resultata til Fourier med større presisjon og formalitet.
Sjølv om den opphavlege motivasjonen var å løyse varmelikninga, vart det seinare klart at den same teknikken kunne nyttast på mange matematiske og fysiske problem. Dei grunnleggjande resultata er veldig lette å forstå ved hjelp av moderne teori.
Fourierrekkjer vert nytta innan mange felt i elektroteknikk, vibrasjonsanalyse, akustikk, optikk, signalhandsaming, biletprosessering, kvantemekanikk og mange fleire.