Algebra abstrakcyjna
dział matematyki wyższej badający ogólne struktury algebraiczne / Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Algebra abstrakcyjna (dawniej algebra współczesna[1]) – dział matematyki badający struktury algebraiczne oraz ich homomorfizmy[1][2][3]. Strukturami algebraicznymi są m.in.: grupy[1][4][5][6][7][8][9][10], półgrupy[10], pierścienie[1][6][7][9][11][12][13][10], ciała[1][6][7][9][12][14][15][10], moduły[1][6][16][10], ideały[17], przestrzenie wektorowe[6][9][18][10], grupoidy[19], algebry nad ciałami[20][10]. Do badania tych struktur wykorzystuje się homomorfizmy i inne narzędzia[6]. Określenie algebra abstrakcyjna zostało wprowadzone na początku XX wieku dla odróżnienia tej dziedziny nauki od innych części algebry[2]. Niekiedy za części algebry abstrakcyjnej uznaje się także następujące dyscypliny matematyczne: algebrę liniową, elementarną teorię liczb i matematykę dyskretną[7]. Na przykład Ash przydzielił do algebry abstrakcyjnej następujące obszary matematyki: logikę matematyczną i podstawy matematyki, elementarną arytmetykę, elementarną teorię liczb, nieformalną teorię grup, algebrę liniową i teorię operatorów liniowych[7][21].
Algebraik Claude Chevalley twierdził, że algebra przede wszystkim stanowi język matematyki i nie istnieje sama dla siebie, lecz jej kierunki rozwoju są uzależnione od potrzeb w innych dziedzinach matematyki[22]. Hermann Weyl w swym artykule Topologie und abstrakte Algebra als zwei Wege mathematischen Verstandisse (1932) stwierdził, iż algebra abstrakcyjna oraz topologia są głównymi drogami zrozumienia matematycznego[22]. Takie ujęcie roli algebry abstrakcyjnej w matematyce może uzasadniać algebraizację całej matematyki, rozpoczętą na przełomie XIX i XX wieku[22]. Algebraizacja matematyki polega na abstrakcyjnym formułowaniu problemów matematycznych w postaci algebraicznej[9]. Osiągane tą metodą wyniki łączą zazwyczaj wiele pozornie odległych działów matematyki i często są zaskakujące[9].