For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Arytmetyka liczb porządkowych.

Arytmetyka liczb porządkowych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Arytmetyka liczb porządkowych – dział teorii mnogości zajmujący się liczbami porządkowymi i działaniami na nich.

Arytmetyka liczb porządkowych znacznie różni się od arytmetyki liczb kardynalnych – zarówno rozważane działania mają inne własności, jak i stawiane pytania są inne. Podstawową różnicą jest jednak fakt, że większość stwierdzeń dotyczących działań na liczbach porządkowych jest dowodliwa na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla (zwykle aksjomat wyboru nie jest potrzebny, choć tutaj, zgodnie z tradycją przyjętą w matematyce, zakłada się ZFC). Ponadto bardzo rzadko spotyka się w niej wyniki niezależnościowe.

Arytmetyka liczb porządkowych kardynalnych różni się także od arytmetyki liczb rzeczywistych, choć można dostrzec między nimi pewne analogie.

Definicje

Na liczbach porządkowych rozważa się następujące działania dwuargumentowe: dodawanie, mnożenie i potęgowanie liczb porządkowych. Operacje dodawania i mnożenia można zdefiniować na dwa sposoby (dające ten sam wynik); poniżej przedstawiono oba podejścia.

Dodawanie i mnożenie: definicje konstrukcyjne

Operacje „+” i „·” na liczbach porządkowych można wprowadzić przez pewne konstrukcje zbiorów dobrze uporządkowanych.

Przypuśćmy, że oraz są dobrymi porządkami. Dla uproszczenia opisu załóżmy też, że zbiory i rozłączne. Określamy:

  • gdzie jest relacją binarną na zdefiniowaną przez
wtedy i tylko wtedy, gdy oraz
i lub
i lub
i
  • gdzie jest relacją binarną na produkcie zdefiniowaną przez
wtedy i tylko wtedy, gdy ( ) oraz
lub
i

Można wykazać, że zarówno jak i są dobrymi porządkami.

Liczba porządkowa 
  
    
      
        ω
        ⋅
        ω
        
          :
        
      
    
    {\displaystyle \omega \cdot \omega {:))
  
 każda kreska pionowa przedstawia liczbę porządkową poniżej 
  
    
      
        ω
        ⋅
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega \cdot \omega }
  
 – kreski te odpowiadają liczbom postaci 
  
    
      
        ω
        ⋅
        m
        +
        n
      
    
    {\displaystyle \omega \cdot m+n}
  
 gdzie 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 i 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 są liczbami naturalnymi.
Liczba porządkowa każda kreska pionowa przedstawia liczbę porządkową poniżej – kreski te odpowiadają liczbom postaci gdzie i są liczbami naturalnymi.

Dla liczb porządkowych określamy

  • sumę jako (jedyną) liczbę porządkową izomorficzną ze zbiorem dobrze uporządkowanym gdzie są rozłącznymi kopiami i odpowiednio;
  • iloczyn jako (jedyną) liczbę porządkową izomorficzną ze zbiorem dobrze uporządkowanym gdzie są kopiami i odpowiednio.

Definicje indukcyjne

  • Dodawanie: przez indukcję po liczbach porządkowych dla każdej liczby porządkowej definiujemy w sposób następujący:
jest następnikiem porządkowym liczby
jeśli jest liczbą graniczną, to
  • Mnożenie: przez indukcję po liczbach porządkowych dla każdej liczby porządkowej definiujemy w sposób następujący:
jeśli jest liczbą graniczną, to
  • Potęgowanie: przez indukcję po liczbach porządkowych dla każdej liczby porządkowej definiujemy w sposób następujący:
jeśli jest liczbą graniczną, to

Podstawowe własności

Pewne własności „zwykłych” działań na liczbach rzeczywistych są prawdziwe dla działań na liczbach porządkowych, ale wiele nie. Dla dowolnych liczb porządkowych prawdziwe są następujące równości:

  • oraz
  • oraz
  • oraz
  • oraz
  • oraz

Przykłady

Przypomnijmy, że jest pierwszą nieskończoną liczbą porządkową.

  • Ani dodawanie, ani mnożenie liczb porządkowych nie są przemienne, gdyż na przykład:
oraz
  • Prawostronna rozdzielność mnożenia względem dodawania na ogół nie zachodzi:
ale

Więcej własności

  • Niech będą liczbami porządkowymi, Wówczas liczba ma jednoznaczne przedstawienie postaci
gdzie są liczbami porządkowymi i
  • Twierdzenie Cantora o postaci normalnej: Każda niezerowa liczba porządkowa może być przedstawiona jednoznacznie w postaci
dla pewnych liczb naturalnych oraz oraz liczb porządkowych spełniających warunek
  • Liczby porządkowe α dla których zachodzi równość były nazwane przez Cantora liczbami epsilonowymi; tworzą one klasę właściwą. Najmniejszą liczbą epsilonową jest
(a) dla każdej liczby
(b) dla każdej liczby
(c) dla każdej liczby

Zastosowania

  • Dowód twierdzenia Goodsteina używa cantorowskiej postaci normalnej dla liczb porządkowych mniejszych niż

Operacje naturalne

W 1906 roku niemiecki matematyk Gerhard Hessenberg[1] wprowadził dwie dodatkowe operacje na liczbach porządkowych: naturalną sumę i naturalny produkt. Czasami operacje te są nazywane sumą Hessenberga i produktem Hessenberga, odpowiednio. Są one zdefiniowane w taki sposób, że przedstawiamy dane liczby porządkowe w postaci normalnej Cantora i działania wykonujemy, traktując te rozwinięcia jak formalne wielomiany zmiennej

Niech i będą liczbami porządkowymi. Na mocy twierdzenia Cantora o postaci normalnej możemy znaleźć liczby naturalne oraz oraz liczby porządkowe takie, że

oraz

Określamy teraz sumę naturalną przez

Definicja produktu naturalnego jest trochę bardziej skomplikowana: traktujemy wyrażenia i jakby przedstawiały wielomiany zmiennej ω. Dla każdej pary liczb naturalnych rozważamy liczbę (zwróćmy uwagę że w wykładniku potęgi mamy operację sumy naturalnej). Produkt naturalny jest zdefiniowany jako suma (w sensie +) wszystkich wyrażeń postaci uporządkowanych tak, że wykładniki maleją.

Obie operacje, i są przemienne i łączne. Zauważmy, że

ale oraz
ale

Przykład zastosowania

W roku 1954 G.H. Toulmin udowodnił[2], że jeżeli i przestrzeniami regularnymi, to

gdzie ind oznacza mały wymiar induktywny oraz jest liczbą naturalną zależną od wymiarów przestrzeni i Gary Brookfield udowodnił[3], że jeżeli jest pierścieniem noetherowskim, to

gdzie len jest liczbą porządkową mierzącą długość ideałową pierścienia w pewnym sensie dokładniej niż wymiar Krulla (pojęcie to wprowadził Gulliksen[4]).

Przypisy

  1. Hessenberg G.: Grundbegriffe der Mengenlehre, Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht, 1906.
  2. Toulmin G.H., Shuffling ordinals and transfinite dimension, Proc. London Math. Soc., 4 (1954), s. 177–195.
  3. Brookfield G., The Length of Noetherian Polynomial Rings. Communications in Algebra, 1532-4125, (31), Issue 11, 2003, s. 5591–5607. [1].
  4. Gulliksen T.H., A Theory of Length for Noetherian Modules, J. of Pure and Appl., Algebra 1973, 3, s. 159–170.

Bibliografia

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Arytmetyka liczb porządkowych
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.

X

Wikiwand 2.0 is here 🎉! We've made some exciting updates - No worries, you can always revert later on