Całka Henstocka-Kurzweila
Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
W analizie matematycznej całką Henstocka-Kurzweila lub uogólnioną całką Riemanna, całką cechowania – znaną również jako (wąska) całka Denjoy (wym. [dɑ̃ˈʒwa], nie mylić z bardziej ogólną całką Denjoy), całka Łuzina lub całka Perrona – nazywamy uogólnienie całki Riemanna, a w niektórych przypadkach także całkę ogólniejszą niż całka Lebesgue’a. W szczególności funkcja jest całkowalna w sensie Lebesgue’a wtedy i tylko wtedy, gdy ta funkcja oraz jej wartość bezwzględna są całkowalne w sensie Henstocka-Kurzweila.
Całkę tę po raz pierwszy zdefiniował Arnaud Denjoy (1912). Denjoy był zainteresowany całką, która pozwoliłaby na całkowanie takich funkcji, jak
Ta funkcja ma osobliwość w zerze i nie jest całkowalna w sensie Lebesgue’a. Naturalnym pomysłem wydaje się jednak obliczenie tej całki na zbiorze dla pewnych a następnie dokonanie przejścia granicznego
Próbując stworzyć ogólną teorię, Denjoy użył indukcji pozaskończonej nad możliwymi typami osobliwości, co mocno skomplikowało definicję. Inne definicje podał Nikołaj Łuzin (przy użyciu pojęcia ciągłości bezwzględnej) oraz Oskar Perron. Po pewnym czasie zrozumiano, że całki Perrona i Denjoya są w istocie identyczne.
Później, w 1957 roku, czeski matematyk Jaroslav Kurzweil stworzył nową definicję tej całki, elegancko naśladującą pierwotną definicję Riemanna, którą nazwał całką cechowania. Teoria tej całki została opracowana przez Ralpha Henstocka, z tego powodu jest ona obecnie powszechnie znana jako całka Henstocka-Kurzweila. Prostota definicji Kurzweila sprawiła, że niektórzy pedagodzy opowiadają się za tym, aby ta całka zastąpiła całkę Riemanna we wprowadzających kursach z rachunku różniczkowego[1].