Duże liczby kardynalne – liczby kardynalne, których istnienia nie można udowodnić na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla (ZFC), i ponadto takie, dla których niesprzeczność istnienia nie wynika z niesprzeczności ZFC, a jednocześnie można wykazać niesprzeczność nieistnienia tych liczb.

Ściśle mówiąc, rozważa się różne własności liczb kardynalnych (i duże liczby to liczby kardynalne mające pewne z tych własności). Postulaty, że istnieją liczby kardynalne spełniające określonego rodzaju własności dużych liczb, noszą wspólną nazwę aksjomatów dużych liczb.

Hierarchia niesprzeczności

Cechą definiującą własności dużych liczb kardynalnych jest to, że nie można udowodnić, że niesprzeczność ZFC implikuje niesprzeczność istnienia liczby z odpowiednią własnością. Wyjaśnijmy to na przykładzie liczb nieosiągalnych. Zauważmy najpierw, że (w ZFC), jeśli ${\displaystyle \kappa }$ jest liczbą silnie nieosiągalną, to V_κ jest modelem ZFC. Niech I będzie zdaniem istnieje liczba silnie nieosiągalna. Na podstawie poprzedniego stwierdzenia:

(*) w ZFC+I można udowodnić, że istnieje model dla ZFC, a więc

(**) w ZFC+I można udowodnić, że ZFC jest niesprzeczne.

Przypuśćmy teraz nie wprost, że wykazaliśmy, iż:

(!) jeśli ZFC jest niesprzeczne, to także ZFC+I jest niesprzeczne.

Zakładając rzecz jasna, że „ZFC jest niesprzeczne”, wiemy iż także „ZFC+I jest niesprzeczne”. Używając stwierdzenia (**) możemy teraz zaargumentować, że zdanie „ZFC+I jest niesprzeczne” jest dowodliwe w ZFC+I. To z kolei przeczy drugiemu twierdzeniu Gödla o niezupełności.

Z drugiej strony, jeśli istnieją liczby nieosiągalne i ${\displaystyle \kappa }$ jest pierwszą taką liczbą, to L_κ jest modelem dla „ZFC + nie istnieją liczby nieosiągalne”. Zatem jeśli teoria ZF jest niesprzeczna, to także teoria „ZFC + nie istnieją liczby nieosiągalne” jest niesprzeczna.

Większość własności dużych liczb kardynalnych tworzy ciąg liniowo uporządkowany ze względu na „siłę niesprzeczności istnienia danej liczby”. Można to sformalizować następująco. Dla danych własności ${\displaystyle W_{1))$ i ${\displaystyle W_{2))$ dużych liczb, dokładnie jedno z następujących stwierdzeń jest prawdziwe:

• W ZFC można udowodnić, że:

„ZFC+${\displaystyle (\exists \kappa )(W_{1}(\kappa ))}$ jest niesprzeczne” wtedy i tylko wtedy gdy „ZFC+${\displaystyle (\exists \kappa )(W_{2}(\kappa ))}$ jest niesprzeczne”.

• W ZFC+${\displaystyle (\exists \kappa )(W_{1}(\kappa ))}$ można udowodnić, że „ZFC+${\displaystyle (\exists \kappa )(W_{2}(\kappa ))}$ jest niesprzeczne”.
• W ZFC+${\displaystyle (\exists \kappa )(W_{2}(\kappa ))}$ można udowodnić, że „ZFC+${\displaystyle (\exists \kappa )(W_{1}(\kappa ))}$ jest niesprzeczne”.

Liczby niesprzeczne z V=L

Dla wielu matematyków fakt że nie można udowodnić w ZFC niesprzeczności istnienia dużych liczb jest trochę odstraszającym. Jednak w miarę akumulacji istotnych wyników mówiących o definiowalnych podzbiorach prostej rzeczywistej a wymagających założenia istnienia pewnych dużych liczb, liczba przeciwników tego typu postulatów maleje. Można zaryzykować tezę, że współcześni matematycy nie mają wątpliwości że założenia istnienia dużych liczb które są niesprzeczne z aksjomatem konstruowalności są całkowicie akceptowalne. Wśród liczb które mogą istnieć w L znajdują się następujące liczby.

• Nieprzeliczalna liczba kardynalna ${\displaystyle \kappa }$ jest (słabo) nieosiągalna, jeśli jest ona graniczną regularną liczbą kardynalną, a jest nazywana liczbą silnie nieosiągalną, jeśli jest ona silnie graniczna i regularna.
• Liczba słabo Mahlo to słabo nieosiągalna liczba ${\displaystyle \kappa }$ taka, że zbiór ${\displaystyle \{\mu <\kappa :\mu }$ jest regularną liczbą kardynalną ${\displaystyle \))$ jest stacjonarnym podzbiorem ${\displaystyle \kappa .}$

Jeśli ${\displaystyle \kappa }$ jest liczbą słabo Mahlo, to nawet zbiór ${\displaystyle \{\mu <\kappa :\mu }$ jest słabo nieosiągalna ${\displaystyle \))$ jest stacjonarny.

• Liczba Mahlo to silnie nieosiągalna liczba ${\displaystyle \kappa }$ taka, że zbiór ${\displaystyle \{\mu <\kappa :\mu }$ jest regularną liczbą kardynalną ${\displaystyle \))$ jest stacjonarnym podzbiorem ${\displaystyle \kappa .}$

Jeśli ${\displaystyle \kappa }$ jest liczbą Mahlo, to nawet zbiór ${\displaystyle \{\mu <\kappa :\mu }$ jest silnie nieosiągalna ${\displaystyle \))$ jest stacjonarny.

• Nieprzeliczalna liczba kardynalna ${\displaystyle \kappa }$ jest liczbą słabo zwartą, jeśli:

dla każdej funkcji ${\displaystyle F:[\kappa ]^{2}\longrightarrow \{0,1\))$ istnieje zbiór ${\displaystyle H\subseteq \kappa }$ mocy ${\displaystyle \kappa }$ taki, że obcięcie ${\displaystyle F\upharpoonright [H]^{2))$ jest funkcją stałą.

Powyżej, dla zbioru ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle [X]^{2))$ oznacza rodzinę wszystkich dwuelementowych podzbiorów ${\displaystyle X.}$

Większe liczby

• Liczba Ramseya to taka liczba kardynalna ${\displaystyle \kappa ,}$ że:

dla każdej funkcji ${\displaystyle F:\bigcup \limits _{n<\omega }[\kappa ]^{n}\longrightarrow \{0,1\))$ istnieje zbiór ${\displaystyle H\subseteq \kappa }$ mocy ${\displaystyle \kappa }$ taki, że dla każdej liczby naturalnej ${\displaystyle n}$ obcięcie ${\displaystyle F\upharpoonright [H]^{n))$ jest funkcją stałą.

Powyżej, dla zbioru ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle [X]^{n))$ oznacza rodzinę wszystkich ${\displaystyle n}$-elementowych podzbiorów ${\displaystyle X.}$

• Nieprzeliczalna liczba kardynalna ${\displaystyle \kappa }$ jest mierzalna, jeśli istnieje ${\displaystyle \kappa }$-zupełny niegłówny ultrafiltr podzbiorów ${\displaystyle \kappa .}$
• Nieprzeliczalna liczba kardynalna ${\displaystyle \kappa }$ jest silnie zwarta jeśli dla każdego zbioru ${\displaystyle X,}$ każdy ${\displaystyle \kappa }$-zupełny filtr podzbiorów ${\displaystyle X}$ jest zawarty w pewnym ${\displaystyle \kappa }$-zupełnym ultrafiltrze podzbiorów ${\displaystyle X.}$
• Niech ${\displaystyle \kappa }$ będzie nieprzeliczalną liczbą kardynalną. Dla zbioru ${\displaystyle A}$ mocy co najmniej ${\displaystyle \kappa }$ niech ${\displaystyle [A]^{<\kappa ))$ będzie rodziną wszystkich podzbiorów ${\displaystyle A}$ mocy mniejszej niż ${\displaystyle \kappa .}$ Powiemy, że ${\displaystyle \kappa }$ jest liczbą super-zwartą jeśli dla każdego zbioru ${\displaystyle A}$ mocy co najmniej ${\displaystyle \kappa }$ istnieje ${\displaystyle \kappa }$-zupełny ultrafiltr ${\displaystyle U}$ podzbiorów ${\displaystyle [A]^{<\kappa ))$ taki, że:

(i) dla każdego zbioru ${\displaystyle D\in [A]^((<}\kappa ))$ mamy ${\displaystyle \{B\in [A]^{<\kappa }:D\subseteq B\}\in U,}$ oraz

(ii) każda funkcja ${\displaystyle f:[A]^{<\kappa }\longrightarrow A}$ taka że ${\displaystyle \{B\in [A]^{<\kappa }:f(B)\in B\}\in U}$ jest stała na zbiorze z ${\displaystyle U.}$

Zanurzenia elementarne

Większość własności dużych liczb powyżej liczby mierzalnej związana jest z istnieniem zanurzeń elementarnych V w pewien model wewnętrzny M. Przypuśćmy, że ${\displaystyle \kappa }$ jest liczbą mierzalną, oraz ${\displaystyle U}$ jest ${\displaystyle \kappa }$-zupełnym ultrafiltrem na ${\displaystyle \kappa .}$ Wówczas ultrapotęga ${\displaystyle \mathrm {Ult} (\mathbf {V} ,U)}$ jest modelem ufundowanym; niech M będzie kolapsem Mostowskiego tego ultraproduktu. Z kanonicznego zanurzenia V w ultrapotęgę otrzymujemy zanurzenie elementarne ${\displaystyle \mathbf {j} :\mathbf {V} \longrightarrow \mathbf {M} }$ takie, że ${\displaystyle \kappa =\min\{\delta \in \mathbf {ON} :\mathbf {j} (\delta )\neq \delta \}.}$ Duża część własności większych liczb kardynalnych może być zdefiniowana przez użycie zanurzeń elementarnych ${\displaystyle \mathbf {j} :\mathbf {V} \longrightarrow \mathbf {M} ,}$ spełniających pewne dodatkowe własności (a odpowiednie liczby są opisane wówczas jako pierwsze które zostały ruszone przez takie zanurzenia).

Zobacz też

• aksjomat determinacji
• opisowa teoria mnogości