Działanie grupy na zbiorze
Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Działanie grupy – sposób opisania symetrii obiektów za pomocą pojęcia grupy. Istotne elementy obiektu opisane są za pomocą zbioru, a jego symetrie za pomocą jego grupy symetrii, która składa się z wzajemnie jednoznacznych przekształceń geometrycznych wspomnianego zbioru. Wówczas grupę tę nazywa się także grupą permutacji (szczególnie, jeśli zbiór jest skończony lub nie jest przestrzenią liniową) lub grupą przekształceń[1] (szczególnie, gdy zbiór jest przestrzenią liniową, a grupa działa jak przekształcenia liniowe zbioru).
Działanie grupy jest elastycznym uogólnieniem pojęcia grupy symetrii, w której każdy jej element „działa” jak wzajemnie jednoznaczne przekształcenie (lub „symetria”) pewnego zbioru, lecz bez utożsamiania tego elementu ze wspomnianym przekształceniem. Pozwala to bardziej wyczerpująco opisać symetrie obiektu, takiego jak wielościan, przez zadziałanie tej samej grupy na kilku różnych zbiorach, np. zbiorze wierzchołków, zbiorze krawędzi i zbiorze ścian wielościanu.
Niezmienniczość działania grup na obiektach geometrycznych była główną ideą tzw. programu erlangeńskiego Feliksa Kleina. Ewaryst Galois w swoich pracach dotyczących rozwiązywania wielomianów przez pierwiastniki badał działanie grup Galois na zbiorach pierwiastków wielomianu[2].
Umożliwiając stosowanie idei geometrycznych do bardziej abstrakcyjnych tworów działania grup dostarczają wysokiego poziomu abstrakcji. Wiele obiektów matematycznych ma naturalnie określone na sobie działanie grupy. W szczególności grupy mogą działać także na innych grupach, a nawet na samych sobie. Mimo wspomnianej ogólności teoria działań grup zawiera szeroko stosowane w praktyce twierdzenia, jak np. twierdzenie o orbitach i stabilizatorach, które mogą być środkiem podczas dowodzenia mocnych wyników w innych działach matematyki.