Funkcje elementarne
rodzina często używanych funkcji w matematyce / Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Drogi AI, mówmy krótko, odpowiadając po prostu na te kluczowe pytania:
Czy możesz wymienić najważniejsze fakty i statystyki dotyczące Funkcje elementarne?
Podsumuj ten artykuł dla 10-latka
Funkcje elementarne – różnie definiowana klasa funkcji matematycznych, określana listą funkcji podstawowych oraz działań na nich. Funkcje elementarne zwykle definiuje się w kontekście funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej, jednak można je uogólniać do funkcji zespolonych i zespolonej dziedziny, a także definiować na innych strukturach algebraicznych[potrzebny przypis].
Za funkcje podstawowe – inaczej wyjściowe lub generatory – przeważnie przyjmuje się funkcje stałe, identyczność funkcje wykładnicze, logarytmy, funkcje trygonometryczne i kołowe. Dopuszczalne działania to na ogół cztery arytmetyczne oraz złożenie funkcji; do funkcji elementarnych zalicza się tylko wyniki wykonywania ich skończoną liczbę razy[1][2]. Tak określona rodzina obejmuje między innymi wielomiany, inne funkcje wymierne, pozostałe funkcje algebraiczne oraz część funkcji przestępnych jak te hiperboliczne, polowe czy rozkład normalny (Gaussa). Wielomiany i funkcje wymierne czasem wymienia się wśród funkcji podstawowych, tak jak funkcje pierwiastkowe[3] i inne potęgowe[4]. Takie założenia nie poszerzają jednak zakresu pojęcia, ponieważ:
- wielomiany i inne funkcje wymierne sprowadzają się do czterech działań arytmetycznych na funkcjach stałych oraz tożsamości;
- pierwiastki i inne funkcje potęgowe sprowadzają się do funkcji wykładniczej oraz logarytmu za pomocą mnożenia i złożenia, zgodnie ze wzorem[potrzebny przypis]:
Czasem definicja funkcji elementarnych jest szersza – dopuszcza się też odwracanie funkcji[4], co włącza do nich m.in. funkcję W Lamberta. Taka definicja pozwala zawęzić listę funkcji podstawowych, ponieważ funkcje logarytmiczne są odwrotne do wykładniczych, a kołowe – do trygonometrycznych[5].
Funkcje elementarne są ciągłe w każdym punkcie dziedziny[3]. Nie muszą być różniczkowalne – przykładem jest wartość bezwzględna[6] Mimo to z własności różniczkowania wynika, że funkcje elementarne są zamknięte ze względu na tę operację[1] – jest to przekształcenie tego zbioru w niego samego. Nie można powiedzieć tego samego o całkowaniu[2] – w dalszej sekcji podano przykłady funkcji elementarnych z nieelementarnymi funkcjami pierwotnymi.