Grupa diedralna
grupa izometrii własnych wielokąta foremnego / Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Drogi AI, mówmy krótko, odpowiadając po prostu na te kluczowe pytania:
Czy możesz wymienić najważniejsze fakty i statystyki dotyczące Grupa diedralna?
Podsumuj ten artykuł dla 10-latka
Grupa diedralna[uwaga 1] – grupa izometrii płaszczyznowych wielokąta foremnego przekształcająca go na siebie (tzw. „izometrii własnych”) albo ogólniej: dowolna grupa o strukturze identycznej ze strukturą grupy symetrii tego wielokąta (tzn. z nią izomorficzną). Można ją także traktować jako grupę izometrii parzystych (tzn. zachowujących orientację) dwuścianu foremnego w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej: symetriom wielokąta odpowiadają obroty przestrzeni trójwymiarowej.
Ponieważ dla grupa symetrii -kąta foremnego ma elementów, to spotyka się dwa sposoby oznaczania tej grupy: symbolem który wyróżnia liczbę krawędzi wielokąta (tj. stopień) oraz gdzie kładzie się nacisk na liczbę jej elementów (tj. rząd) – w dalszej części artykułu stosowana będzie pierwsza z notacji.
Definicję można rozszerzyć również na mniejsze od liczby naturalne: jeśli to utożsamia się ją z grupą czwórkową Kleina; gdy to grupa ta jest izomorficzna z dwuelementową grupą cykliczną (jedyną grupą tego rzędu); dla przyjmuje się, iż jest to grupa trywialna.
- Zobacz też: zbiór generatorów grupy.
Niech oraz oznacza obrót płaszczyzny o kąt wokół ustalonego jej punktu zaś będzie jej dowolną symetrią osiową przechodzącą przez Ponieważ -krotne złożenie ze sobą jest w istocie obrotem o w szczególności -krotne złożenie jest obrotem o kąt pełny, który jest identycznością, tzn. to jest elementem rzędu grupy Podobnie jest elementem rzędu drugiego, gdyż (z punktu widzenia teorii grup symetria osiowa jest więc transpozycją; z punktu widzenia geometrii jest inwolucją, gdyż sama stanowi swoją odwrotność). O wyniku złożenia obrotu z symetrią osiową można myśleć na kilka sposobów:
- symetria osiowa zmienia orientację płaszczyzny na przeciwną, zatem obrót nią poprzedzony będzie odbywał się w przeciwnym kierunku niż wyjściowy, kolejna symetria osiowa przywraca orientację płaszczyzny – w ten sposób
- z drugiej strony obrót „wybiera” oś symetrii po nim zastosowanej, kolejny obrót „przywracający” pierwotną oś musi być odwrotny ze względu na przyłożoną symetrię, a więc identyczny z pierwszym obrotem, tzn.
- podobnie rozumując można uzasadnić tożsamość
- mówiącą o tym, że obrót poprzedzony symetrią daje ten sam wynik, co symetria poprzedzona obrotem w przeciwnym kierunku. W szczególności dla grupa nie jest abelowa (przemienna), gdyż wtedy
Rozpatrując wyłącznie przekształcenia obrotów wokół wspólnego punktu i symetrii o osiach przechodzących przez ten wyróżniony punkt, jak ma to miejsce w wyżej opisywanej sytuacji, można zauważyć, że złożenie dwóch obrotów bądź dwóch symetrii jest obrotem, a złożenie symetrii z obrotem bądź obrotu z symetrią jest symetrią – w ten sposób przekształcenia tworzą zbiór zamknięty ze względu na ich składanie. Ponieważ składanie jest łączne, a każde ze składanych przekształceń ma przekształcenie do niego odwrotne, to przekształcenia te tworzą grupę. Dokładniej: z danego obrotu można uzyskać obrotów (wliczając w to sam obrót i obrót trywialny ) poprzez składanie ich ze sobą, a składając symetrię z tymi obrotami otrzymuje się symetrii (wliczając w to symetrię przy obrocie trywialnym ), to grupa tych przekształceń ma elementów postaci gdzie oraz
Wspomniana grupa może być rozpatrywana jako podgrupa grupy wszystkich symetrii -kąta foremnego. Jak pokazano wyżej, jest ona generowana przez obrót rzędu i symetrię rzędu bądź przez dwie symetrie rzędu [uwaga 2].
Rozkład grupy na klasy sprzężoności, tzn. podzbiory elementów zamkniętych ze względu na branie sprzężeń (automorfizmów wewnętrznych), zależy od jej stopnia [uwaga 3]:
- dla nieparzystego:
- dla parzystego:
Klasy te mają odpowiednio oraz elementów. Dla centrum grupy jest trywialne w przypadku nieparzystym i równe w przypadku parzystym[uwaga 4]. Wynika stąd, że jeśli jest dwukrotnością liczby nieparzystej, to [uwaga 5][uwaga 6]; w ogólności jest zawsze izomorficzna z iloczynem półprostym Komutant grupy to [uwaga 7][uwaga 8].
Jeśli (z elementem neutralnym ), gdzie dla pewnego oraz a ponadto to istnieje epimorfizm jeśli to epimorfizm ten jest izomorfizmem[uwaga 9]. Wspomniany epimorfizm jest wyznaczony jednoznacznie, zatem jest uniwersalna jako grupa o dwóch generatorach spełniających jedno z trzech równań z poprzedniej sekcji. Z twierdzenia tego wynika istnienie reprezentacji w postaci grupy macierzy stopnia nad mianowicie zbiór macierzy
tworzy podgrupę pełnej grupy liniowej grupę tę można również przedstawić za pomocą wielomianów nad postaci gdzie a wyraz jest dowolny – składanie tego rodzaju wielomianów liniowych odpowiada mnożeniu powyższych macierzy; przedstawienia tego nie należy mylić z geometryczną reprezentacją jako podgrupy w postaci izometrii własnych generowaną za pomocą macierzy obrotu i odbicia,
macierze te, traktowane jako liczby zespolone, odpowiadają pierwiastkowi pierwotnemu z jedynki stopnia oraz sprzężeniu zespolonemu tworzącym grupę (z działaniem mnożenia zespolonego) izomorficzną z
Jak opisano to w poprzedniej sekcji, grupa diedralna może być generowana przez dwa elementy rzędu Niech przy czym Jeśli oraz komutują (tzn. ), to – grupa ta jest izomorficzna z grupą czwórkową, o ile w przeciwnym przypadku jest grupą cykliczną rzędu Jeżeli i nie komutują, to ma strukturę grupy diedralnej, tzn. jeśli jest skończoną grupą nieabelową generowaną przez dwa elementy rzędu to jest ona izomorficzna z grupą diedralną. Na podstawie tych dwóch obserwacji można przyjąć następującą definicję:
- Ogólna definicja grupy diedralnej
- Grupa skończona generowana przez dwa elementy drugiego rzędu.
Większość własności z poprzedniej sekcji obowiązuje dla a nie tylko – wyjątkami są stwierdzenie dotyczące postaci centrum oraz modelu nad ponadto nie można wtedy zanurzyć w gdyż dla
W dowolnej grupie skończonej zawierającej dwa elementy rzędu element musi być sprzężony z bądź i komutują ze wspólnym elementem rzędu Dowolny nietrywialny obraz homomorficzny grupy diedralnej jest grupą diedralną.