Oś liczbowa – interpretacja geometryczna zbioru liczb rzeczywistych

Zbiór liczb rzeczywistych – rozszerzenie zbioru liczb wymiernych (jako przestrzeni metrycznej) do przestrzeni zupełnej; równoważnie – rozszerzenie zbioru liczb wymiernych (z topologią przedziałową) do przestrzeni spójnej. Zbiór liczb rzeczywistych jest więc ciałem uporządkowanym spełniającym aksjomat ciągłości. Liczby rzeczywiste, które nie są wymierne, nazywane są liczbami niewymiernymi. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczany jest symbolem ${\displaystyle \mathbb {R} }$ lub ${\displaystyle \mathbf {R} .}$

Z punktu widzenia algebry ciało liczb rzeczywistych jest rozszerzeniem ciała liczb wymiernych. Podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych są np. liczby wymierne, niewymierne, przestępne, całkowite, naturalne, ujemne, pierwiastki liczb dodatnich itd. Zbiór liczb rzeczywistych można z kolei rozszerzyć do zbioru liczb zespolonych. Modelem geometrycznym zbioru liczb rzeczywistych jest tzw. prosta rzeczywista, czyli oś liczbowa^[1].

Historia

Pitagorejczycy zauważyli, że przekątna kwadratu i jego bok są niewspółmierne, tj. nie istnieje odcinek, dla którego przekątna i bok byłyby naturalnymi wielokrotnościami. W dzisiejszym języku oznaczało to, że żadna liczba wymierna nie jest stosunkiem długości przekątnej kwadratu i jego boku (zob. dowód niewymierności pierwiastka z 2). Była to pierwsza wykryta niewymierność, pierwszą znaną klasyfikację niewymierności przeprowadził Teajtet.

Znana od czasów starożytnych liczba pi, którą definiuje się jako stosunek długości dowolnego okręgu do jego średnicy, także okazała się liczbą niewymierną – udowodnił to w roku 1767 Lambert. Każda wykryta niewymierność oznaczała tzw. lukę w zbiorze liczb wymiernych. Konstrukcja liczb rzeczywistych jest wypełnieniem wszystkich możliwych luk. Za pierwszą udaną konstrukcję liczb rzeczywistych uważa się teorię proporcji Eudoksosa opisaną w Elementach Euklidesa. Chociaż pierwszą formalną definicję liczb rzeczywistych zaproponował Richard Dedekind używając liczb wymiernych oraz wprowadzonych przez siebie przekrojów^[2].

Definicje i konstrukcje

 Osobny artykuł: Aksjomaty i konstrukcje liczb.

Zbiór liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} }$ można zdefiniować aksjomatycznie.

Jest to struktura algebraiczna ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot ,0,1,\leqslant )}$ spełniającą następujące aksjomaty:

1. ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot ,0,1)}$ jest ciałem,
2. ${\displaystyle \leqslant }$ jest porządkiem liniowym spełniającym dodatkowo warunki:
   • jeśli ${\displaystyle x\geqslant y,}$ to ${\displaystyle x+z\geqslant y+z;}$
   • jeśli ${\displaystyle x\geqslant 0}$ i ${\displaystyle y\geqslant 0,}$ to ${\displaystyle xy\geqslant 0.}$
3. spełniony jest aksjomat ciągłości: każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ma kres górny.

Ponieważ aksjomatyka nie gwarantuje istnienia obiektu spełniającego te aksjomaty, przeprowadza się konstrukcje liczb rzeczywistych biorące za punkt wyjścia liczby wymierne.

Istnieje kilka klasycznych sposobów konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych:

• za pomocą przekrojów Dedekinda,
• za pomocą ciągów Cauchy’ego liczb wymiernych.
• za pomocą ciągów nieskończonych, w których pierwszym wyrazem jest dowolna liczba całkowita, wszystkie następne są liczbami naturalnymi ze zbioru {0,1,...,9}. Ta metoda jest ściśle związana z reprezentacją liczb rzeczywistych w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego.

Niektóre własności

Własności topologiczne

Naturalną metryką w zbiorze liczb rzeczywistych jest tzw. metryka euklidesowa, czyli wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb. Prosta rzeczywista wyposażona w tę metrykę jest zupełną przestrzenią metryczną. Ponadto jest ona przestrzenią ośrodkową (ośrodkiem jest np. zbiór liczb wymiernych).

Rodzinę zbiorów otwartych (topologię) na prostej można określić definiując zbiory otwarte:

Zbiór ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$ jest otwarty ${\displaystyle \iff }$ ${\displaystyle \forall _{x\in A}\ \exists _{\varepsilon >0}\ (x-\varepsilon ;x+\varepsilon )\subseteq A,}$

czyli zbiór jest otwarty, gdy wraz z każdym jego punktem zawiera pewien przedział otwarty zawierający ten punkt.

Bazą tej topologii jest np. rodzina przedziałów otwartych o końcach wymiernych. Wynika stąd, że liczby rzeczywiste spełniają drugi aksjomat przeliczalności. Przestrzeń rzeczywista jest ponadto spójna i lokalnie zwarta.

Ważnymi niestandardowymi topologiami określonymi na zbiorze liczb rzeczywistych są tzw. prosta Sorgenfreya i prosta Michaela.

Własności teoriomnogościowe

• Moc zbioru liczb rzeczywistych nazywana jest continuum i oznaczana symbolem ${\displaystyle {\mathfrak {c)).}$ Jest ona większa, na przykład, od mocy zbioru liczb wymiernych (zobacz też: rozumowanie przekątniowe) czy zbioru liczb algebraicznych – odpowiednio, zbiory liczb niewymiernych i przestępnych mają również moc continuum.
• Naturalny porządek (relacja mniejszości) liczb rzeczywistych spełnia warunek przeliczalnych antyłańcuchów (ccc).

Reprezentacja w urządzeniach cyfrowych

Popularną, przybliżoną, komputerową reprezentacją liczby rzeczywistej jest liczba zmiennoprzecinkowa i typ zmiennoprzecinkowy. Najczęściej jest to implementacja standardu IEEE 754.

Liczby rzeczywiste mogą być reprezentowane również przez typ pozwalający obliczać ich przybliżenia z dowolną dokładnością, co umożliwia dokładną arytmetykę rzeczywistą^[3][4].

Zobacz też

• ciąg podstawowy
• liczba
• ułamek dziesiętny
• ułamek okresowy