Liczby rzeczywiste
wszystkie liczby na osi, wymierne lub nie / Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Drogi AI, mówmy krótko, odpowiadając po prostu na te kluczowe pytania:
Czy możesz wymienić najważniejsze fakty i statystyki dotyczące Liczby rzeczywiste?
Podsumuj ten artykuł dla 10-latka
Liczby rzeczywiste – uogólnienie liczb wymiernych na wszystkie liczby odpowiadające punktom na osi liczbowej[1], zwanej też prostą rzeczywistą. Liczby rzeczywiste pozwalają opisać wszelkie odległości, liczby do nich przeciwne oraz inne wielkości skalarne. Zbiór liczb rzeczywistych oznacza się symbolem [1] lub
Każdą liczbę rzeczywistą można zapisać ułamkiem dziesiętnym, przy czym nie musi on mieć takich własności, jak dla liczb wymiernych – może jednocześnie nie być skończony ani ostatecznie okresowy[1]. Ta odpowiedniość zachodzi też w drugą stronę – każdy ułamek dziesiętny nieskończony odpowiada jakiejś liczbie rzeczywistej, przez co takie ciągi cyfr mogą być użyte do definiowania liczb rzeczywistych[1].
Zrozumienie, że ułamki zwykłe – tj. stosunki dwóch liczb naturalnych – nie wystarczą do opisu niektórych długości, przyniosła starożytność[2]. Wtedy zakon Pitagorejczyków udowodnił, że pierwiastek kwadratowy z dwójki () jest niewymierny[3]. Czasy nowożytne przyniosły rozwój matematyki wyższej, a wraz z nią:
- nazwę liczby rzeczywiste, użytą w kontraście do liczb urojonych[4][5];
- formalne, ścisłe definicje liczb rzeczywistych, podane niżej;
- opisy własności tego zbioru, np. jego mocy;
- rozmaite uogólnienia;
- inne obiekty, które nazwano liczbami, mimo że nie leżą na osi rzeczywistej, wymienione w dalszej sekcji.
Za pomocą zbioru liczb rzeczywistych definiuje się:
- przedziały liczbowe;
- przestrzenie kartezjańskie, będące podstawą geometrii analitycznej;
- funkcje rzeczywiste badane przez analizę rzeczywistą.