Liczby zespolone
uogólnienie liczb rzeczywistych zawierające pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych / Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Drogi AI, mówmy krótko, odpowiadając po prostu na te kluczowe pytania:
Czy możesz wymienić najważniejsze fakty i statystyki dotyczące Liczby zespolone?
Podsumuj ten artykuł dla 10-latka
Liczby zespolone – uogólnienie zbioru liczb rzeczywistych zawierające jednostkę urojoną – liczbę, której kwadrat, czyli druga potęga, wynosi minus jeden[4]: Taki obiekt nie występuje na rzeczywistej osi liczbowej, jednak można go skonstruować za pomocą liczb rzeczywistych, co opisano dalej. Iloczyny jednostki urojonej i liczb rzeczywistych – czyli postaci – są nazywane liczbami urojonymi. Liczbami zespolonymi nazywa się dowolną sumę liczby rzeczywistej i urojonej, czyli wyrażenia algebraiczne postaci gdzie [4].
Zbiór ten zwykle oznacza się dużą literą [2]. Można w nim wykonywać cztery podstawowe działania arytmetyczne, czyli dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie przez wszystkie liczby oprócz zera; są przy tym zachowane podstawowe własności tych działań jak:
- przemienność i łączność dodawania oraz mnożenia;
- rozdzielność mnożenia względem dodawania i odejmowania[4].
Liczby zespolone można też:
- potęgować z wykładnikiem naturalnym dodatnim, a niektóre liczby zespolone podnosić też do innych potęg, w tym zespolonych[3];
- pierwiastkować, rozwiązując odpowiednie równania algebraiczne lub podnosząc te liczby do potęg ułamkowych;
- logarytmować[5].
Obliczenia na liczbach zespolonych bywają prostsze przy użyciu ich alternatywnych postaci, znanych jako trygonometryczna i wykładnicza[4], co opisano niżej.
Liczby zespolone mają standardowe przedstawienie geometryczne – można je rozumieć jako punkty na płaszczyźnie, na której leży także oś rzeczywista, lub jako ich wektory wodzące, tj. prowadzące do nich z zera[4]. Taka dwuwymiarowa konstrukcja jest znana jako płaszczyzna zespolona lub płaszczyzna Gaussa[4]. Można na niej wprowadzać różne układy współrzędnych:
- układ prostokątny (kartezjański) opisuje liczbę zespoloną za pomocą uporządkowanej pary liczb rzeczywistych nazywanych odpowiednio częścią rzeczywistą i urojoną, oznaczanych [4];
- układ biegunowy opisuje każdą z tych liczb za pomocą odległości od zera – początku tego układu – oraz miary kąta między tym wektorem a półprostą liczb dodatnich. Wielkości te są znane jako moduł i argument główny, oznaczane za ich pomocą konstruuje się wspomniane postaci trygonometryczne i wykładnicze[4].
Diagram przedstawiający płaszczyznę zespoloną (Gaussa) z kartezjańskimi osiami współrzędnych jest znany jako diagram Arganda[1]; jego przykład podano obok. Istnieją też inne geometryczne opisy tego zbioru liczbowego, np. sfera Riemanna rozszerzająca liczby zespolone o nieskończoność[6].
Liczby zespolone są rozważane od XVI wieku[7], kiedy użyto ich w algebrze do rozwiązywania równań trzeciego stopnia, inaczej sześciennych. Odtąd przenikły do różnych działów matematyki i jej zastosowań:
- okazały się użyteczne w trygonometrii i opartej na niej analizie harmoniczej[8]. Tych dyscyplin używa się do opisu drgań, fal i sygnałów, przez co liczby zespolone zastosowano w różnych naukach empirycznych i technicznych[4] jak fizyka, elektrotechnika i elektronika;
- powstał dział matematyki oparty w całości na tych liczbach – analiza zespolona, która również znalazła zastosowania w matematyce i poza nią[9]. Niektóre z jej problemów uznano za jedne z najdonioślejszych w całej matematyce[10][11].
W algebrze abstrakcyjnej mówi się, że liczby zespolone tworzą ciało i są rozszerzeniem ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną[12]. Podano różne konstrukcje tej struktury algebraicznej, oparte na parach uporządkowanych, macierzach, przekształceniach liniowych płaszczyzny kartezjańskiej i na pierścieniach ilorazowych, co opisano niżej. Opisano też uogólnienia liczb zespolonych jak kwaterniony, inne liczby hiperzespolone i inne algebry Clifforda.