Opisowa teoria mnogości – poddziedzina teorii mnogości poświęcona badaniom definiowalnych podzbiorów przestrzeni polskich. Rozwinęła się w pierwszej połowie XX wieku na styku teorii funkcji rzeczywistych, topologii, teorii miary i logiki matematycznej.

W klasyfikacji MSC 2000 badań naukowych w matematyce (prowadzonej przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne) opisowa teoria mnogości oznaczana jest kodem 03E15.

Klasycznymi źródłami informacji w tej dziedzinie matematyki są monografie Yiannisa Moschovakisa^[1] oraz Aleksandra Kechrisa^[2]. Z literatury dostępnej w języku polskim należy wymienić monografię Kazimierza Kuratowskiego i Andrzeja Mostowskiego^[3], a także książkę Wojciecha Guzickiego i Pawła Zbierskiego^[4].

Klasy zbiorów punktowych w przestrzeniach polskich

Podstawowymi klasami zbiorów badanych w klasycznej opisowej teorii mnogości są zbiory borelowskie oraz szersza klasa zbiorów rzutowych i ich efektywne wersje. Własności tych klas mogą być interesujące nawet dla matematyków nastawionych na skrajną konstruowalność.

Funkcje rozważane w opisowej teorii mnogości są zwykle mierzalne względem σ-ciała zbiorów borelowskich (czyli są to funkcje borelowskie). Wśród funkcji borelowskich wyróżnia się izomorfizmy borelowskie, czyli bijekcje pomiędzy przestrzeniami polskimi, które są borelowskie i dla których funkcja odwrotna też jest borelowska. Powiązanymi (i badanymi) klasami funkcji są też klasy Baire’a.

Wszystkie doskonałe przestrzenie polskie są borelowsko izomorficzne, co więcej – każda przestrzeń polska jest ciągłym różnowartościowym obrazem domkniętego podzbioru przestrzeni Baire’a ${\displaystyle {\mathcal {N)).}$ Często dowody przeprowadza się właśnie w przestrzeni Baire’a ${\displaystyle {\mathcal {N))}$ (która jest homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych), ale rozważania są też prowadzone w innych doskonałych przestrzeniach polskich i każdą z nich traktuje się jak prostą rzeczywistą. To podejście pozwala zawsze ustalić taką przestrzeń, dla której nasz dowód jest najbardziej elegancki, a jednocześnie pozwala formułować twierdzenia tak, że mówią o najbardziej popularnym obiekcie w matematyce: prostej.

Przypomnijmy definicje klas borelowskich i rzutowych. Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią polską.

Borelowskie podzbiory ${\displaystyle X{:))$

Przez indukcję po liczbach porządkowych ${\displaystyle 0<\alpha <\omega _{1))$ definiujemy rodziny ${\displaystyle \Sigma _{\alpha }^{0}(X)=\Sigma _{\alpha }^{0},}$ ${\displaystyle \Pi _{\alpha }^{0}(X)=\Pi _{\alpha }^{0))$ oraz ${\displaystyle \Delta _{\alpha }^{0}(X)=\Delta _{\alpha }^{0))$ podzbiorów przestrzeni ${\displaystyle X{:))$

• ${\displaystyle \Sigma _{1}^{0))$ jest rodziną wszystkich otwartych podzbiorów ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \Pi _{1}^{0},}$ to rodzina wszystkich dopełnień zbiorów z ${\displaystyle \Sigma _{1}^{0))$ (czyli jest to rodzina zbiorów domkniętych). Ponadto kładziemy ${\displaystyle \Delta _{1}^{0}=\Sigma _{1}^{0}\cap \Pi _{1}^{0},}$ czyli ${\displaystyle \Delta _{1}^{0))$ jest rodziną wszystkich otwarto-domkniętych podzbiorów ${\displaystyle X.}$
• Przypuśćmy, że zdefiniowaliśmy już ${\displaystyle \Sigma _{\beta }^{0},\Pi _{\beta }^{0},\Delta _{\beta }^{0))$ dla ${\displaystyle 0<\beta <\alpha .}$ Określamy:

${\displaystyle \Sigma _{\alpha }^{0))$ jest rodziną wszystkich zbiorów postaci ${\displaystyle A=\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }A_{n},}$ gdzie ${\displaystyle A_{n}\in \bigcup \limits _{\beta <\alpha }\Pi _{\beta }^{0))$ (dla wszystkich ${\displaystyle n}$),

${\displaystyle \Pi _{\alpha }^{0))$ jest rodziną wszystkich zbiorów ${\displaystyle A\subseteq X}$ takich, że ${\displaystyle X\setminus A\in \Sigma _{\alpha }^{0},}$

${\displaystyle \Delta _{\alpha }^{0}=\Sigma _{\alpha }^{0}\cap \Pi _{\alpha }^{0}.}$

Elementy rodziny ${\displaystyle \bigcup _{\alpha <\omega _{1))\Sigma _{\alpha }^{0}(X)}$ nazywamy borelowskimi podzbiorami przestrzeni ${\displaystyle X}$.

Rzutowe podzbiory ${\displaystyle X{:))$

Przez indukcję po liczbach naturalnych ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ klasy ${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}(X)=\Sigma _{n}^{1))$ oraz ${\displaystyle \Pi _{n}^{1}(X)=\Pi _{n}^{1}{:))$

• ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1))$ jest rodziną tych wszystkich podzbiorów ${\displaystyle A}$ przestrzeni ${\displaystyle X,}$ że dla pewnego zbioru borelowskiego ${\displaystyle B\subseteq X\times {\mathcal {N))}$ mamy ${\displaystyle A=\{x\in X:(\exists r\in {\mathcal {N)))((x,r)\in B)\},}$
• ${\displaystyle \Pi _{1}^{1))$ jest rodziną tych podzbiorów ${\displaystyle A}$ przestrzeni ${\displaystyle X,}$ że ${\displaystyle X\setminus A\in \Sigma _{1}^{1},}$
• ${\displaystyle \Sigma _{n+1}^{1))$ jest rodziną tych podzbiorów ${\displaystyle A}$ przestrzeni ${\displaystyle X,}$ że dla pewnego ${\displaystyle B\in \Pi _{n}^{1}(X\times {\mathcal {N)))}$ mamy ${\displaystyle A=\{x\in X:(\exists r\in {\mathcal {N)))((x,r)\in B)\},}$
• ${\displaystyle \Pi _{n+1}^{1))$ jest rodziną tych podzbiorów ${\displaystyle A}$ przestrzeni ${\displaystyle X,}$ że ${\displaystyle X\setminus A\in \Sigma _{n+1}^{1}.}$

Definiujemy również ${\displaystyle \Delta _{n}^{1}(X)=\Sigma _{n}^{1}(X)\cap \Pi _{n}^{1}(X).}$

Elementy rodziny ${\displaystyle \bigcup _{n<\omega }\Sigma _{n}^{1}(X)}$ nazywamy rzutowymi podzbiorami przestrzeni ${\displaystyle X}$.

Wybrane własności klas punktowych

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią polską.

• Zachodzą następujące inkluzje (gdzie „${\displaystyle \subseteq }$” jest reprezentowane przez strzałkę „${\displaystyle \longrightarrow }$”):

${\displaystyle \Sigma _{\alpha }^{0))$

${\displaystyle \Sigma _{\beta }^{0))$

${\displaystyle \nearrow }$

${\displaystyle \searrow }$

${\displaystyle \nearrow }$

${\displaystyle \searrow }$

${\displaystyle \Delta _{\alpha }^{0))$

${\displaystyle \Delta _{\beta }^{0))$

${\displaystyle \Delta _{\beta +1}^{0))$

${\displaystyle \searrow }$

${\displaystyle \nearrow }$

${\displaystyle \searrow }$

${\displaystyle \nearrow }$

${\displaystyle \Pi _{\alpha }^{0))$

${\displaystyle \Pi _{\beta }^{0))$

   dla wszystkich ${\displaystyle \alpha <\beta <\omega _{1))$ oraz

${\displaystyle \Sigma _{1}^{1))$

${\displaystyle \Sigma _{2}^{1))$

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle \Sigma _{n}^{1))$

${\displaystyle \Sigma _{n+1}^{1))$

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle \nearrow }$

${\displaystyle \searrow }$

${\displaystyle \nearrow }$

${\displaystyle \searrow }$

${\displaystyle \nearrow }$

${\displaystyle \searrow }$

${\displaystyle \nearrow }$

${\displaystyle \Delta _{1}^{1))$

${\displaystyle \Delta _{2}^{1))$

${\displaystyle \Delta _{3}^{1))$

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle \Delta _{n}^{1))$

${\displaystyle \Delta _{n+1}^{1))$

${\displaystyle \searrow }$

${\displaystyle \nearrow }$

${\displaystyle \searrow }$

${\displaystyle \nearrow }$

${\displaystyle \searrow }$

${\displaystyle \nearrow }$

${\displaystyle \searrow }$

${\displaystyle \Pi _{1}^{1))$

${\displaystyle \Pi _{2}^{1))$

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle \Pi _{n}^{1))$

${\displaystyle \Pi _{n+1}^{1))$

${\displaystyle \ldots }$

• Jeśli przestrzeń ${\displaystyle X}$ jest nieprzeliczalna, to wszystkie inkluzje powyżej są właściwe.
• ${\displaystyle \Delta _{1}^{1}(X)}$ jest rodziną wszystkich borelowskich podzbiorów przestrzeni ${\displaystyle X.}$ Jest to σ-ciało podzbiorów ${\displaystyle X.}$
• Ciągły różnowartościowy obraz borelowskiego podzbioru przestrzeni polskiej jest zbiorem borelowskim.
• Każdy zbiór klasy ${\displaystyle \Sigma _{2}^{1))$ jest sumą ${\displaystyle \aleph _{1))$ zbiorów borelowskich.
• Twierdzenie uniformizacyjne Kondo-Nowikowa: Jeśli ${\displaystyle X,Y}$ są przestrzeniami polskimi oraz ${\displaystyle A\in \Pi _{1}^{1}(X\times Y),}$ to można wybrać zbiór ${\displaystyle B\in \Pi _{1}^{1}(X\times Y)}$ zawarty w ${\displaystyle A}$ i taki, że dla wszystkich ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle (\exists y\in Y)((x,y)\in A)\ \Leftrightarrow \ (\exists !y\in Y)((x,y)\in B).}$

(Powyżej kwantyfikator ${\displaystyle \exists !}$ oznacza istnieje dokładnie jeden).

Regularność klas punktowych

Pytania dotyczące regularności klas punktowych są w centrum zainteresowań opisowej teorii mnogości. Regularność może mieć wiele znaczeń i może odnosić się do mierzalności w sensie Lebesgue’a, własności Baire’a, własności Ramseya, własności zbioru doskonałego i innych własności tego typu. Przykładowe twierdzenia dotyczące tej tematyki to:

• wszystkie zbiory klasy ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1))$ mają własność Baire’a i są mierzalne w sensie Lebesgue’a,
• każdy zbiór klasy ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1))$ jest albo przeliczalny, albo zawiera podzbiór doskonały,
• każdy ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1))$ podzbiór przestrzeni ${\displaystyle [\omega ]^{\omega ))$ nieskończonych podzbiorów ${\displaystyle \omega }$ ma własność Ramseya,
• jeśli wszystkie zbiory klasy ${\displaystyle \Sigma _{2}^{1))$ są mierzalne, to wszystkie zbiory klasy ${\displaystyle \Sigma _{2}^{1))$ mają własność Baire’a,
• jeśli założymy aksjomat determinacji rzutowej PD, to wszystkie zbiory rzutowe mają własność Baire’a i są mierzalne w sensie Lebesgue’a oraz każdy nieprzeliczlany zbiór rzutowy zawiera podzbiór doskonały,
• jeśli założymy aksjomat konstruowalności, to istnieje ${\displaystyle \Delta _{2}^{1))$ podzbiór prostej, który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue’a i który nie ma własności Baire’a, oraz istnieje nieprzeliczalny zbiór klasy ${\displaystyle \Pi _{1}^{1},}$ który nie zawiera żadnego podzbioru doskonałego.

Dla szerszego przeglądu tej tematyki odsyłamy czytelnika do monografii Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha^[5].

Definiowalne relacje równoważności

W ostatnich latach kluczowe badania dotyczą definiowalnych relacji równoważności oraz działań grup (przede wszystkim grup polskich, tzn. grup topologicznych będących przestrzeniami polskimi)^[6].

Definicje

Niech ${\displaystyle X,Y}$ będą przestrzeniami polskimi.

• Relacja ${\displaystyle E}$ na przestrzeni ${\displaystyle X}$ jest borelowska (analityczna itd.), jeśli jest ona borelowskim (analitrycznym itd.) podzbiorem przestrzeni ${\displaystyle X\times X.}$
• Przypuśćmy, że ${\displaystyle E}$ jest relacją równoważności na ${\displaystyle X,}$ a ${\displaystyle F}$ jest relacją równoważności na ${\displaystyle Y.}$ Powiemy, że relacja ${\displaystyle E}$ jest borelowsko redukowalna do F, jeśli istnieje funkcja borelowska ${\displaystyle f\colon X\longrightarrow Y}$ taka, że

${\displaystyle {\Big (}\forall x,y\in X{\Big )}{\Big (}x\;E\;y\ \ \Leftrightarrow \ \ f(x)\;F\;f(y){\Big )}.}$

W powyższej sytuacji piszemy ${\displaystyle E\leqslant _{B}F.}$

Relacja borelowskiej redukcji ${\displaystyle \leqslant _{B))$ jest konceptualnie bliska pojęciu bycia mocy nie większej niż. Jeśli ${\displaystyle E\leqslant _{B}F,}$ to mamy „świadka” na nierówność ${\displaystyle |X/E|\leqslant |Y/F|,}$ który może być „podniesiony” do borelowskiego odwzorowanika z ${\displaystyle X}$ do ${\displaystyle Y.}$

• Jeśli ${\displaystyle E\leqslant _{B}F}$ oraz ${\displaystyle F\leqslant _{B}E,}$ to powiemy, że przestrzenie ilorazowe ${\displaystyle X/E}$ i ${\displaystyle Y/F}$ mają tę samą moc borelowską. Piszemy wówczas ${\displaystyle E\sim _{B}F.}$

Podstawowe własności

Przy badaniu definiowalnych relacji równoważności utożsamia się każdą przestrzeń polską z relacją równości określonej na tej przestrzeni. Zwyczajowo też używa się symbolu ${\displaystyle E_{0))$ na oznaczenie następującej relacji na liczbach rzeczywistych:

${\displaystyle x\;E_{0}\;y}$ wtedy i tylko wtedy, gdy różnica ${\displaystyle x-y}$ jest liczbą wymierną.

• ${\displaystyle \mathbb {R} <_{B}E_{0))$ (tzn, ${\displaystyle \mathbb {R} \leqslant _{B}E_{0},}$ ale ${\displaystyle E_{0}\not \leqslant _{B}\mathbb {R} }$).
• Jeśli ${\displaystyle E}$ jest relacją równoważności klasy ${\displaystyle \Pi _{1}^{1},}$ to

albo ${\displaystyle E\leqslant _{B}\mathbb {N} }$ lub ${\displaystyle \mathbb {R} \leqslant _{B}E}$

• Jeśli ${\displaystyle E}$ jest borelowską relacją równoważności, to

albo ${\displaystyle E\leqslant _{B}\mathbb {R} }$ lub ${\displaystyle E_{0}\leqslant _{B}E}$

• Dla każdej borelowskiej relacji równoważności ${\displaystyle E}$ istnieje borelowska relacja równoważności ${\displaystyle F}$ taka, że ${\displaystyle E<_{B}F.}$
• Wśród borelowskich relacji równoważności o przeliczalnych klasach abstrakcji istnieje element ${\displaystyle \leqslant _{B))$-największy. W tej samej rodzinie relacji można wybrać nieprzeliczalnie wiele parami ${\displaystyle \leqslant _{B))$-nieporównywalnych relacji.

Zobacz też

• gry nieskończone
• uniwersum konstruowalne
• zbiory analityczne
• zbiór typu F-sigma
• zbiór typu G-delta