Płaszczyzna zespolona
geometryczny model ciała liczb zespolonych / Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Drogi AI, mówmy krótko, odpowiadając po prostu na te kluczowe pytania:
Czy możesz wymienić najważniejsze fakty i statystyki dotyczące Płaszczyzna zespolona?
Podsumuj ten artykuł dla 10-latka
Płaszczyzna zespolona, płaszczyzna Gaussa[1] – geometryczny model ciała liczb zespolonych Płaszczyzna pełni w nim w stosunku do liczb zespolonych rolę analogiczną do roli, którą pełni prosta rzeczywista względem ciała liczb rzeczywistych.
Zasugerowano, aby zintegrować ten artykuł z artykułem diagram Arganda (dyskusja). Nie opisano powodu propozycji integracji. |
Na płaszczyźnie wprowadzamy najpierw prostokątny kartezjański układ współrzędnych, na który składają się dwie prostopadłe do siebie osie współrzędnych przecinające się we wspólnym początku Jedna z osi, oś jest pozioma (oś odciętych), skierowana od lewej strony do prawej, a druga pionowa (oś rzędnych), jest skierowana od dołu do góry. Każdy punkt płaszczyzny jest jednoznacznie opisywany przez dwie współrzędne: odciętą i rzędną będące odpowiednio współrzędnymi rzutów punktu na oś odciętych i oś rzędnych. Każdemu tak opisanemu punktowi płaszczyzny można przyporządkować liczbę zespoloną [2]:
- gdzie
Przyporządkowanie to jest różnowartościowe i obrazem płaszczyzny jest w nim zbiór wszystkich liczb zespolonych. Zatem oba zbiory można utożsamić. W związku z tym oś odciętych nazywa się osią rzeczywistą, a oś rzędnych – osią urojoną (od pierwiastka kwadratowego z minus jedynki, nazywanego pierwiastkiem urojonym). Zapisujemy to następująco:
Działania na liczbach zespolonych określa się następująco. Niech
Wtedy
Stąd wynika, że działania dodawania i mnożenia na płaszczyźnie można określić następująco:
Z definicji tych wynika, że:
- Dla punktów leżących na osi rzeczywistej oba działania można utożsamić z działaniami na liczbach rzeczywistych.
- Dla dowolnego punktu prawdziwa jest równość
- i bardziej ogólnie co oznacza, że mnożenie przez można zinterpretować na płaszczyźnie jako obrót dokoła środka współrzędnych o kąt 90°.