Potęga punktu
A
{\displaystyle A}
względem okręgu
o
{\displaystyle o}
– liczba równa
P
(
A
,
o
)
=
|
A
O
|
2
−
r
2
,
{\displaystyle P(A,o)=|AO|^{2}-r^{2},}
gdzie
O
{\displaystyle O}
jest środkiem okręgu
o
,
{\displaystyle o,}
r
{\displaystyle r}
jego promienieniem[1] [2] . Z definicji wynika, że
P
(
A
,
o
)
>
0
{\displaystyle P(A,o)>0}
dla punktu leżącego na zewnątrz okręgu.
P
(
A
,
o
)
{\displaystyle P(A,o)}
jest wtedy równe kwadratowi długości stycznej poprowadzonej z punktu
A
{\displaystyle A}
do okręgu
o
{\displaystyle o}
(rys. 1).
P
(
A
,
o
)
<
0
{\displaystyle P(A,o)<0}
dla punktu leżącego wewnątrz okręgu.
P
(
A
,
o
)
{\displaystyle P(A,o)}
jest liczbą przeciwną do kwadratu połowy najkrótszej cięciwy okręgu
o
{\displaystyle o}
przechodzącej przez punkt
A
{\displaystyle A}
(rys. 2).
P
(
A
,
o
)
=
0
{\displaystyle P(A,o)=0}
dla punktów
A
{\displaystyle A}
leżących na okręgu.
Rys. 1. Potęga punktu na zewnątrz okręgu jest równa kwadratowi długości stycznej poprowadzonej z punktu A do okręgu o
Rys. 2. Potęga punktu wewnątrz okręgu jest liczbą przeciwną do kwadratu połowy najkrótszej cięciwy okręgu o przechodzącej przez punkt A
Punkty o stałej potędze względem danego okręgu leżą na jednym okręgu.
Twierdzenie. Niech będzie dany punkt A . Jeśli punkty
B
,
C
{\displaystyle B,C}
będą punktami przecięcia dowolnej prostej
k
{\displaystyle k}
przechodzącej przez punkt
A
{\displaystyle A}
z okręgiem
o
,
{\displaystyle o,}
to
P
(
A
,
o
)
=
|
A
B
|
⋅
|
A
C
|
,
{\displaystyle P(A,o)=|AB|\cdot |AC|,}
jeśli A leży na zewnątrz okręgu,
P
(
A
,
o
)
=
−
|
A
B
|
⋅
|
A
C
|
,
{\displaystyle P(A,o)=-|AB|\cdot |AC|,}
jeśli A leży wewnątrz okręgu.
Jeśli punkt
D
{\displaystyle D}
jest punktem styczności prostej
k
{\displaystyle k}
z okręgiem, to
P
(
A
,
o
)
=
|
A
D
|
2
{\displaystyle P(A,o)=|AD|^{2}}
[3] .
Dowód. Zgodnie z twierdzeniem o siecznych iloczyn
|
A
B
|
⋅
|
A
C
|
{\displaystyle |AB|\cdot |AC|}
jest taki sam niezależnie od wyboru cięciwy wyznaczonej przez
k
.
{\displaystyle k.}
Jeśli jedną z tych cięciw będzie średnica okręgu, to zajdzie równość
|
A
B
|
⋅
|
A
C
|
=
(
|
A
O
|
−
r
)
⋅
(
|
A
O
|
+
r
)
=
|
A
O
|
2
−
r
2
.
{\displaystyle |AB|\cdot |AC|=(|AO|-r)\cdot (|AO|+r)=|AO|^{2}-r^{2}.}
Stąd teza.
W przypadku punktu leżącego wewnątrz okręgu dowód jest analogiczny.